mercredi 28 octobre 2015

Formulation d'une fusée de détresse A (Partie II)

Après avoir illustré la construction de la matrice d'expériences proposée par McLean et Anderson pour la modélisation ultérieure de la variation de l'intensité lumineuse provoquée par un mélange de 4 constituants, nous allons aborder la partie consacrée à l'analyse des résultats.
La sixième séquence nous invite à observer la variation de la réponse et à reporter la valeur de l'intensité lumineuse pour chacun des mélanges réalisés, directement sur la maquette du domaine expérimental. La valeur maximale a été observée au centre du domaine, ce qui laisse présager que les auteurs ont sans doute voulu confirmer qu'il s'agissait là d'un optimum connu, peut-être sous la forme d'un point de fonctionnement. Si un "meilleur" mélange existe, la forme canonique du modèle polynomial de degré 2 postulée a priori nous invitera alors à le rechercher près du centre du domaine.


L'analyse mathématique présentée dans cette septième séquence consiste, en utilisant la méthode des moindres carrés, à estimer d'une part les coefficients du modèle et d'autre part les résidus, à savoir les écarts entre les valeurs observées et les valeurs restituées par le modèle pour chacun des mélanges mis en œuvre. Le graphe des résidus illustre la difficulté du modèle à décrire convenablement la réponse au centre du domaine, mélange pour lequel la réponse observée est maximale. Un modèle qui décrit mal la zone du domaine où les mélanges pourraient satisfaire les objectifs à atteindre, va poser tôt ou tard des problèmes dans la démarche d'optimisation.


Dans la huitième séquence, on reprend pas à pas les étapes de calcul destinées à l'estimation de la qualité descriptive et de la qualité prédictive d'un modèle. On illustre le rôle des leviers, représentant des amplificateurs des résidus, à savoir des écarts de description, pour l'évaluation des écarts de prédiction. Les modèles alternatifs évoqués dans une des séquences de la première partie ne pourront guère faire mieux que la forme canonique du modèle polynomial de degré 2. On profite de cette séquence pour présenter le rôle "bénéfique" des pseudo-constituants dans les parties de l'analyse nécessitant le recours à des calculs, notamment pour des calculs matriciels.


Bien que le modèle ne présente pas une qualité prédictive satisfaisante dans la zone d'intérêt des expérimentateurs, on se livre pour l'exemple dans cette neuvième séquence à la restitution de l'équation du modèle sous forme de trace de la surface de réponse. Ce type de représentation devient incontournable quand, au-delà de trois constituants, on ne peut plus représenter de manière simple des surfaces de réponse et des courbes d'isoréponse.


La conclusion présentée dans cette dixième séquence permet d'illustrer l'organisation d'une feuille de calcul pour faire de l'optimisation dite non-linéaire et rechercher un "meilleur" mélange de manière numérique. On revient enfin sur les points clés présentés dans cette étude de cas.


D'autres études de cas faisant appel à la méthode proposée par McLean et Anderson pour la construction d'un plan de mélange seront régulièrement présentées dans ce blog.

mercredi 21 octobre 2015

Formulation d'une fusée de détresse A (Partie I)

La circulation de convois ferroviaires impose le respect de règles strictes pour garantir la sécurité des biens et des personnes transportées. Un incident en pleine voie doit être immédiatement signalé, mais quand les moyens téléphoniques modernes que nous connaissons aujourd'hui n'existaient pas, le danger était signalé pour le train suiveur à partir d'une fusée de détresse. Cet équipement est toujours d'actualité parmi les agrès de sécurité présents dans la cabine d'une locomotive.

Cette fusée de détresse est réalisée à partir d'un mélange de poudres dont l'homogénéité et la stabilité sont garanties par un liant et parmi lesquelles du magnésium, associé à du nitrate de sodium et du nitrate de strontium, provoque une intensité lumineuse importante que l'on va tenter de maximiser.

Cet exemple, qualifié de Flare Experiment par les anglo-saxons, a été proposé en 1966 par McLean et Anderson pour illustrer une méthode de construction d'une matrice d'expériences que l'on classe, au même titre que les réseaux proposés par Henry Scheffé, parmi les méthodes empiriques.

Cet exemple a été régulièrement revisité dans la littérature. La première partie de la présentation de cette étude de cas nous permettra de passer des objectifs de l'étude à la construction de la matrice d'expériences.

Dans la première séquence, la présentation du plan de l'exposé permet d'identifier les différentes articulations de la démarche et les points clés qui seront abordés au fil des séquences. Cette première séquence permet également de positionner le problème en terme d'objectif à atteindre et de réponse à mesurer. Les auteurs cherchent ici à maximiser une intensité lumineuse exprimée en candela.


La deuxième séquence d'une étude de cas est typiquement consacrée au choix d'une stratégie expérimentale supposée utile et efficace pour atteindre les objectifs fixés. Dans un problème d'optimisation, il faut toujours comparer les avantages et les inconvénients d'une approche indirecte de type Design Of Experiments avec ceux d'une méthode directe de type Sequential Simplex Optimization.


La troisième séquence, quelque peu longue, débute par la présentation des facteurs et des contraintes limitant la variation des proportions des constituants. Un problème d'incompatibilité de contraintes nécessite un ajustement de ces dernières avant de passer à la caractérisation géométrique du domaine. Nous sommes en présence d'un polyèdre convexe présentant 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces et nous apprendrons à construire la maquette de ce domaine par pliage. Cette approche pédagogique et accessible à tous permet de bien comprendre par la suite la logique du maillage proposée par les auteurs.


Pour répondre à la question sur le nombre de mélanges à mettre en œuvre, il faut postuler a priori un type de modèle particulier pour décrire par la suite la variation de la réponse au sein du domaine expérimental. Les auteurs ont choisi classiquement la forme canonique d'un modèle polynomial de degré 2, complétée par la suite par des modèles alternatifs que l'on présentera dans cette quatrième séquence.


La cinquième séquence de cette première partie nous conduit à justifier le choix des auteurs qui ont retenu, comme plan de mélange, un ensemble constitué par les sommets, les centres de faces et l'incontournable centre du domaine.


Vous découvrirez dès la semaine prochaine la suite de cette étude de cas, depuis la mise en œuvre de l'expérimentation jusqu'à l'exploitation graphique de l'équation du modèle sous forme de trace de la surface de réponse.

mercredi 14 octobre 2015

Plans de mélange : Extreme Vertices Design

Lorsque des contraintes explicites transforment la géométrie du domaine expérimental en polyèdre convexe, il convient naturellement d'adapter les approches dédiées à la modélisation au sein d'un simplexe de hauteur unitaire ou de hauteur réduite.

La modélisation au sein d'un polyèdre convexe présente aujourd'hui de nombreux aspects, à la fois méthodologiques, géométriques et algorithmiques. Quand McLean et Anderson publièrent leur article fondateur en 1966, ils eurent l'idée d'associer une approche empirique à la définition géométrique du domaine expérimental. Ce dernier est caractérisé par un nombre de sommets strictement supérieur au nombre de constituants. Les coordonnées des sommets permettent alors de définir les coordonnées des centres de nombreux sous-espaces parmi lesquels on retrouve des arêtes et des faces, plus ou moins longues ou plus ou moins régulières. En présence d'un nombre restreint de constituants, un maillage du domaine ou du moins de sa périphérie, à partir des sommets et des différents centres permet de définir un nombre nécessaire et suffisant de mélanges pour estimer par la suite les coefficients de la forme canonique d'un modèle polynomial de degré 2. Ce maillage empirique peut être construit de façon manuelle et cette méthode empirique, mais néanmoins performante, est typiquement désignée par la locution Extreme Vertices Design.

La première séquence illustre la méthode de vérification de la compatibilité des contraintes individuelles inférieures et supérieures explicites. En effet, toutes les contraintes doivent contribuer à la définition du domaine expérimental, les coordonnées des sommets étant par la suite définies à partir de l'intersection des contraintes. On présente également dans cette séquence la méthode d'ajustement des contraintes incompatibles et un logigramme permettant de prédire de façon simple, la nature géométrique du domaine sous forme de simplexe ou de polyèdre convexe.


La deuxième séquence utilise différents mélanges à trois constituants pour illustrer une typologie des configurations géométriques. On peut ainsi rencontrer des polyèdres convexes isotropes ou fortement anisotropes qui, par voie de conséquence, vont limiter la possibilité d'un maillage uniforme de façon simple.


La troisième séquence explique, à partir d'un exemple, comment calculer facilement les coordonnées des sommets d'un polyèdre convexe, à partir de l'intersection des différentes contraintes individuelles inférieures et supérieures explicites. On utilise alors les coordonnées des sommets pour calculer les coordonnées du centre des sommets à qui l'on attribue, un peu à tort, le nom de centre du domaine. Il est primordial d'introduire systématiquement ce centre dans la matrice d'expériences.


La quatrième et dernière séquence de ce cours permet de compléter dans un premier temps le maillage précédent à partir de mélanges positionnés au milieu des arêtes. Dans un second temps, on montre la limite de la méthode proposée par McLean et Anderson au delà de cinq ou six constituants pour construire une matrice d'expériences à partir de règles empiriques simples. On évoque alors l'existence de méthodes algorithmiques ou géométriques que l'on présentera ultérieurement dans ce blog.


Différentes études de cas viendront illustrer les concepts présentés dans cet article en élargissant en particulier la démarche à des mélanges présentant 4 constituants.

Chacune des séquences est ponctuée par un quizz de quelques questions ; en répondant à ces questions, vous capitaliserez ainsi les connaissances apprises lors de ce chapitre.

mercredi 7 octobre 2015

Editorial Octobre 2015

Les publications proposées par Henry Scheffé en 1958 et en 1963 pour le maillage expérimental d'un domaine sous forme de simplexe ont rapidement été complétées en 1966, afin d'offrir une stratégie expérimentale lorsque des contraintes explicites affectant la variation des proportions des constituants transforment la géométrie du domaine en polyèdre convexe.

L'initiative est due à McLean et Anderson en 1966 dans un article dont le titre indique que les sommets du domaine expérimental vont jouer un rôle important dans la construction du plan de mélange et qui donnera le nom à la méthode : Extreme Vertices Design. Il s'agit encore une fois d'une méthode empirique et pragmatique, les critères d'optimalité, les algorithmes d'échanges et l'accès aux calculs numériques étant rares ou encore inexistants à cette époque. Mais cette méthode tire encore aujourd'hui largement son épingle du jeu et inspire même la construction de viviers de mélanges candidats pour la mise en œuvre des algorithmes d'échanges, dont on reparlera plus tard.

Le mois d'octobre sera donc consacré à cette approche empirique, tout d'abord grâce à un cours introductif basé sur des mélanges ternaires, puis avec une présentation revisitée de la publication proposée par McLean et Anderson en 1966 mettant en œuvre 4 constituants.

La semaine prochaine vous découvrirez les séquences du cours, qui invitent à comprendre les conséquences de l'application des contraintes explicites sur la géométrie du domaine à partir d'un mélange ternaire.

La semaine suivante, les premières séquences de présentation de l'exemple de McLean et Anderson vous montreront comment la construction d'une maquette permet de comprendre, d'un point de vue géométrique, le bien-fondé de la méthode de maillage. Cette approche rendue possible en raison de la présence de 4 constituants uniquement sera reproduite à plusieurs reprises dans ce blog, pour illustrer de nombreuses études de cas.

En dernière semaine, la suite des séquences de présentation de l'exemple de McLean et Anderson nous renverra à l'application de la méthode des moindres carrés. L'estimation des coefficients et des résidus relève de l'approche mathématique tandis que l'estimation de la qualité descriptive et prédictive du modèle relève de l'approche statistique de l'analyse de régression. La restitution de l'équation du modèle, même si sa qualité prédictive est faible, permettra de revenir sur la méthode de construction et d'interprétation de la trace de la surface de réponse.

Depuis le mois de juin, nous avons posé, article après article, les bases fondatrices de la méthode des plans d'expériences dédiés aux problèmes de formulation, en se limitant il est vrai à la stratégie de type Component Proportions. Si les méthodes de construction présentées depuis le début (Simplex Lattice Design, Simplex Centroid Design, Extreme Vertices Design) peuvent être qualifiées d'empiriques, elles sont néanmoins nécessaires pour la compréhension de méthodes de construction complémentaires que l'on qualifiera d'algorithmiques et que l'on présentera au fil de prochains articles.

Le glossaire s'étoffe au fil des semaines et de la publication de nouveaux articles. Il offrira bientôt près de 40 entrées ; n'hésitez pas à consulter régulièrement cette page évolutive ! Le mois d'octobre sera consacré à l'enregistrement des premières séquences qui alimenteront d'ici la fin de l'année la page "Excel & Logiciels". D'autres études de cas dans le domaine de la galénique et de la céramique sont également en cours de préparation avant d'aborder de nouvelles séquences de cours. Nous en reparlerons dans un prochain éditorial. Merci enfin à tous ceux qui m'adressent des remerciements pour ce blog, des encouragements et des remarques. Un clin d’œil particulier ira ce mois-ci à Mohammed qui enseigne les plans d'expériences depuis une dizaine d'années et qui se reconnaîtra dans ce message.