Cette rubrique sera complétée et mise à jour au fur et à mesure de la publication des articles dans ce blog.
A
Aliquote
Une partie aliquote est contenue un nombre exact de fois dans un tout. Par exemple 1/3 ou 4/5 représentent des parties aliquotes. L'utilisation de cet adjectif qualificatif dans le contexte des plans de mélange est plus restrictive, puis qu'un mélange aliquote est un mélange dans lequel les constituants présents sont présents en égales proportions. Par exemple, un mélange constitué de 50% d'un constituant A et de 50% d'un constituant B est un mélange aliquote. Le concept de mélange aliquote est utilisé pour définir les différents mélanges d'un maillage de type Simplex Centroid Design au sein d'un simplexe de hauteur unitaire.
Analyse de régression
Selon la norme ISO 3534-3, l'analyse de régression est un groupement de procédures associées à l'évaluation des modèles liant les variables de prédiction aux variables de réponse. L’analyse de régression est couramment associée au procédé d’estimation des paramètres d’un modèle théorique par optimisation d’une fonction objective (par exemple en minimisant la somme des différences carrées entre les réponses observées et celles prévues par le modèle). L’existence de logiciels statistiques a supprimé la plupart du travail fastidieux quant à l’obtention des estimations de paramètres, leurs erreurs-types, et un grand nombre de diagnostics de modèle. L’analyse de régression joue un rôle similaire à celui de l’analyse de variance et s’avère particulièrement adaptée au cas où les niveaux des facteurs sont continus, l’accent étant davantage porté sur un modèle explicite de prédiction.
Analyse de variance
Méthode d'analyse statistique qui permet de décomposer la variation totale d'une variable de réponse, caractérisée par une somme de carrés d'écarts, sous la forme d'une somme de composantes raisonnées que l'on attribue à des sources spécifiques de variation, elles-mêmes caractérisées par des sommes de carrés d'écarts. Les différents résultats provenant de la mise en oeuvre de la méthode sont consignés dans un tableau d'analyse de variance et conduisent à tester une hypothèse qui stipule que les changements de modalités des facteurs n'ont pas d'effet sur la variation de la réponse observée, cette variation étant alors due à des causes aléatoires. Cette méthode est souvent désignée à partir de l'acronyme ANOVA (ANalysis Of VAriance).
C
Categorized Components
Stratégie expérimentale dans laquelle les variations observées de la réponse sont modélisées à partir de la définition de constituants majeurs représentant des classes de constituants mineurs. Cette stratégie est encore appelée Mixture of Mixture.
Component Proportions
Stratégie expérimentale dans laquelle les variations observées d'une réponse sont modélisées uniquement à partir des variations des proportions des constituants préalablement choisis.
Contrainte
Relation mathématique traduisant une inégalité appliquée implicitement ou explicitement aux variations des proportions des constituants de manière individuelle ou relationnelle. Par exemple, la relation (0,2 < x1) traduit une contrainte individuelle inférieure explicite, la proportion du constituant 1 devant être supérieure ou égale à 20%. De même, la relation (x1 + x2 < 0,6) traduit une contrainte relationnelle explicite, la somme des proportions des constituants 1 et 2 devant être inférieure ou égale à 60%. La géométrie du domaine expérimental est une conséquence de la définition des contraintes.
Contrainte individuelle implicite
Relation du type (0 < xi < 1) qui traduit la plage de variation d'une fraction massique, volumique ou molaire d'un constituant présent dans un mélange. Il y a autant de contraintes individuelles implicites que de constituants présents dans un mélange. Le nombre de constituants présents est noté q. En fonction du nombre de constituants, l'ensemble des contraintes individuelles implicites définit un carré, un cube ou un hyper-cube. En associant ces contraintes à la contrainte relationnelle implicite (x1 + x2 + ... + xq =1), on définit le simplexe initial de hauteur unitaire.
Contrainte individuelle inférieure explicite
Ce type de contrainte permet de préciser que la fraction massique, volumique ou molaire d'un constituant doit être supérieure ou égale à une valeur donnée. Par exemple, l'inégalité (0,2 < x1) indique que la proportion du constituant 1 doit être supérieure ou égale à 20%. Ce type de contrainte est noté de manière générique Li . L'ensemble des contraintes individuelles inférieures explicites définit, lorsqu'il existe, un simplexe de même orientation que le simplexe initial et intégralement inclus dans ce dernier. Ce simplexe, appelé simplexe L, présente une hauteur caractérisée par sa mesure linéaire notée RL . La définition de contraintes individuelles inférieures explicites induit la définition de contraintes individuelles supérieures implicites, notées Ui*.
Contrainte individuelle supérieure explicite
Ce type de contrainte permet de préciser que la fraction massique, volumique ou molaire d'un constituant doit être inférieure ou égale à une valeur donnée. Par exemple, l'inégalité (x2 < 0,3) indique que la proportion du constituant 2 doit être inférieure ou égale à 30%. Ce type de contrainte est noté de manière générique Ui . L'ensemble des contraintes individuelles supérieures explicites définit,lorsqu'il existe, un simplexe d'orientation opposée au simplexe initial. Ce simplexe, appelé simplexe U, peut être intégralement inclus ou non au sein du simplexe initial. La hauteur du simplexe U est caractérisée par sa mesure linéaire notée RU . La définition de contraintes individuelles supérieures explicites induit la définition de contraintes individuelles inférieures implicites, notées Li*.
Contrainte relationnelle implicite
Relation du type (x1 + x2 + ... + xq =1) qui traduit le caractère unitaire de la somme des fractions massiques, volumiques ou molaires des constituants présents dans un mélange. Cette équation représente l'équation d'une droite, d'un plan ou d'un hyper-plan qui tronque le carré, le cube ou l'hyper-cube défini à partir des contraintes individuelles implicites (0 < xi < 1) pour générer le simplexe initial de hauteur unitaire.
Courbes d'isoréponse
Projection d'une surface de réponse dans un plan permettant de matérialiser différents niveaux pour la valeur modélisée d'une réponse. En présence de nombreux facteurs, le choix du plan de projection est primordial pour interpréter sans ambiguïté l'information restituée par l'équation du modèle. Ce concept peut également s'appliquer pour représenter les différents niveaux d'une désirabilité individuelle ou d'une désirabilité globale. Les logiciels permettent d'habiller les courbes d'isoréponse avec de nombreuses options graphiques.
D
Désirabilité individuelle
Résultat d'une fonction de désirabilité individuelle. Il s'agit d'un nombre réel compris entre 0 et 1 qui traduit donc un pourcentage de satisfaction par rapport à un objectif fixé. Une désirabilité individuelle égale à 100% pour un mélange donné ou une combinaison expérimentale particulière indique que le niveau de performance de la réponse observée ou modélisée pour ce mélange ou cette combinaison est supérieur ou égal à la cible fixée par le cahier des charges. Une désirabilité individuelle égale à 0% indique que le mélange ou la combinaison en question ne sont pas en mesure de satisfaire, du point de vue de la réponse observée ou modélisée, les exigences du cahier des charges. En présence de plusieurs réponses, les désirabilités individuelles sont combinées de manière à donner lieu à une désirabilité globale.
Désirabilité globale
Pour un mélange donné ou une combinaison expérimentale particulière, il s'agit de la moyenne géométrique des désirabilités individuelles calculées pour chacune des réponses. Cette moyenne peut être pondérée en fonction de l'importance relative que l'on attribue à chacune des réponses entrant en jeu dans un problème d'optimisation multi-critères. La désirabilité globale varie entre 0% et 100%. Dès lors que l'on associe une désirabilité individuelle égale à 0% pour un mélange ou une combinaison expérimentale, la désirabilité globale pour ce même mélange est nulle. Une désirabilité globale égale à 100% signifie que pour un mélange donné ou une combinaison expérimentale particulière, le niveau de performance des réponses observées ou modélisées est supérieur ou égal à la cible. Une désirabilité globale strictement positive signifie que toutes les réponses, pour un mélange donné ou une combinaison expérimentale particulière, présentent une valeur dans la zone d'acceptabilité préalablement définie. Dans un problème d'optimisation multi-critères, on cherche à maximiser la valeur de la désirabilité globale.
F
Facteur
De façon générale, un facteur est une variable sur laquelle on agit lors de la mise en oeuvre d'un plan d'expériences dans le but de provoquer des variations d'une ou plusieurs réponses, de manière à tirer profit de ces variations observées, avec ou sans modèle, pour atteindre un optimum ou pour estimer et comparer les effets des facteurs. Dans les problèmes de formulation, les facteurs sont le plus souvent représentés par les proportions des constituants, que ces proportions soient massiques, volumiques ou molaires. Les proportions des constituants sont qualifiées alors de variables internes. Certaines stratégies expérimentales permettent d'associer des facteurs tels que la nature des constituants, la quantité de mélange utilisée ou encore des variables technologiques. Tous ces facteurs complémentaires sont qualifiés de variables externes.
Fonction de désirabilité individuelle
Fonction complètement définie permettant de transformer les valeurs observées ou modélisées d'une variable de réponse en un nombre réel compris entre 0 et 1 traduisant un indice individuel de satisfaction, en fonction de l'objectif à atteindre pour la réponse étudiée : maximisation, minimisation ou recherche d'une valeur cible. Il existe différents profils possibles pour les fonctions de désirabilités. L'usage des fonctions de désirabilité est associé à la recherche d'un optimum multi-critères.
M
Mathematically Independent Variables
Stratégie expérimentale dans laquelle les variations observées de la réponse sont modélisées à partir des variations du rapport des proportions des constituants préalablement choisis. Il faut alors définir (q-1) variables indépendantes sous forme de rapport, à partir des proportions des q constituants présents dans un mélange.
Matrice d'expériences
La matrice d'expériences traduit la liste des combinaisons expérimentales à réaliser dans le but d'établir un modèle associant une variable de réponse à une ou plusieurs variables de prédiction. Les colonnes de la matrice d'expériences correspondent aux proportions des constituants (variables internes) et aux niveaux ou aux modalités associés à d'éventuelles variables externes. Le nombre de lignes indique le nombre de combinaisons à mettre en oeuvre, incluant le cas échéant des répétitions. La construction de la matrice d'expériences peut résulter d'une démarche empirique (Simplex Lattice Design, Simplex Centroid Design ou Extreme Vertices Design par exemple), d'une démarche géométrique (Distance Based Design par exemple) ou d'une démarche algorithmique (D-Optimal Design par exemple). Dans une stratégie de type Component Proportions et en présence de q constituants, le nombre de colonnes est égal à q et le nombre de lignes est noté N.
Mixture Amount
Stratégie expérimentale dans laquelle les variations observées d'une réponse sont modélisées non seulement à partir des variations des proportions des constituants préalablement choisis mais aussi en fonction de la variation de la quantité de mélange utilisée.
Mixture of Mixture
Stratégie expérimentale dans laquelle les variations observées de la réponse sont modélisées à partir de la définition de constituants majeurs représentant des classes de constituants mineurs. Cette stratégie est encore appelée Categorized Components.
Mixture Process Variable
Stratégie expérimentale dans laquelle les variations observées de la réponse sont modélisées non seulement à partir des variations des proportions des constituants préalablement choisis, mais aussi en fonction des variations des facteurs externes à la formulation traduisant la mise en œuvre des variables du procédé.
Modèle
En reprenant la définition proposée dans la norme ISO 3534-3, un modèle est une description associant la variable de réponse à la (aux) variables (s) de prédiction et comprenant les hypothèses associées. La notion de description est moins restrictive que la notion d'équation, même si cette dernière est la plus répandue. Ainsi, un graphique tel qu'une surface de réponse, des courbes iso-réponses ou encore la trace de la surface de réponse peuvent être considérés comme des modèles. La mise en oeuvre d'un plan d'expériences en général et d'un plan de mélange en particulier doit permettre d'estimer les paramètres d'un modèle que l'on interprétera, sous forme numérique ou graphique, afin d'apporter des éléments de réponse aux questions posées : recherche d'un optimum, ou effet des variations des proportions des constituants autour d'un mélange de référence. C'est parce que l'on postule a priori une forme particulière de modélisation que l'on connaît le nombre minimal de combinaisons distinctes à effectuer au sein d'un plan d'expériences, ce nombre minimal étant égal au nombre de paramètres présents dans l'équation du modèle : il s'agit d'une condition nécessaire. Si un modèle est un vecteur d'information, il ne faut pas oublier qu'il propage des incertitudes par interpolation, dans toutes les zones du domaine expérimental n'ayant pas donné lieu à la réalisation d'expériences. La condition suffisante complémentaire consiste donc à définir un nombre et une nature d'expériences capables de couvrir le plus uniformément possible le domaine expérimental, de manière à limiter la propagation des incertitudes. Des méthodes géométriques et algébriques permettent d'atteindre cet objectif. Enfin, un modèle n'est qu'une approximation de la réalité : il faudra donc estimer a minima sa qualité descriptive et prévoir des essais de validation.
P
Plan d'expérience(s)
En reprenant le premier paragraphe de l'introduction à la norme ISO 3534-3, les plans d'expérience constituent essentiellement une stratégie de planification d'expériences afin d'obtenir des conclusions solides et adéquates de manière efficace et économique. Il convient que le choix du plan d'expérience dépende de la nature des questions à traiter, du degré de généralité recherché pour les conclusions, et des ressources disponibles (matériau expérimental, personnel, contraintes de temps). Une expérience convenablement organisée conduira fréquemment à une analyse et à une interprétation statistique relativement simples des résultats. (Remarque : L'absence de "s" au mot expérience est en cohérence avec la rédaction de la norme ISO 3434-3, le mot expérience étant pris au sens agronomique du terme, qui décrit un ensemble de combinaisons ou de traitements expérimentaux. Les fascicules de documentation FD X 06-080 et FD X 06-081 font apparaître, quant à eux, un "s" dans la locution plan d'expériences).
Plan (pour l'étude) de mélange
Plan d'expériences dédié aux problèmes de formulation dans lequel les facteurs peuvent être représentés non seulement par des variables internes (proportions massiques, volumiques ou molaires des constituants), mais aussi par des variables externes (quantité de mélange, nature des constituants, facteurs associés au processus de fabrication, de mise en oeuvre et/ou de caractérisation des mélanges). La contrainte relationnelle imposant aux proportions des constituants de respecter une valeur constante nécessite la mise en oeuvre de modèles d'interpolation spécifiques au sein de domaines expérimentaux dont la géométrie est généralement plus complexe que dans les plans d'expériences plus traditionnels. Ces constats ont conduit à développer des méthodes spécifiques de construction des plans d'expériences dédiés aux problèmes de formulation.
Proportion des constituants
D'un point de vue mathématique, une proportion désigne la valeur prise par le rapport de deux grandeurs, la valeur de ce rapport pouvant donc dépasser l'unité. Lorsqu'on parle de la proportion d'un constituant dans un plan de mélange, il s'agit plus particulièrement de la fraction massique, volumique ou molaire de ce constituant. Dans leur plage de plus grande amplitude, les proportions des constituants varient entre 0 et 1 (0 < xi < 1) : il s'agit de contraintes individuelles implicites. La somme des proportions est alors égale à 1 (x1 + x2 + ... + xq =1) : il s'agit de la contrainte relationnelle implicite. L'ensemble de ces contraintes implicites conduit à la définition d'un domaine expérimental sous forme de simplexe régulier de hauteur unitaire, encore appelé simplexe initial de hauteur unitaire.
R
Réponse
Variable observée ou calculée représentant le résultat d'une expérience et dont on analyse la variation, le plus souvent à partir d'un modèle, en fonction des variations des facteurs (variables internes et le cas échéant variables externes). La notion de résultat induit la notion d'incertitudes d'un point de vue métrologique, des répétitions pouvant être destinées à l'évaluation de ces incertitudes. Dans une approche classique des plans de mélange, les réponses sont représentées par des grandeurs quantitatives à variation continue pouvant, dans certains cas, nécessiter une transformation appropriée. Toutefois des approches spécifiques existent pour des réponses qualitatives, binaires ou présentant plus de deux modalités, ces approches s'inspirant des méthodes d'analyse factorielle discriminante. De plus en plus, des évaluations sensorielles ou encore des distributions sont à prendre en compte parmi les réponses. Dans tous les cas, il convient que la (les) réponse(s) soi(en)t représentative(s) des phénomènes observés et en cohérence avec les objectifs de l'étude. Dans le cadre d'une optimisation multi-critères, plusieurs réponses sont à prendre en compte simultanément.
S
Simplexe
Figure géométrique non dégénérée qui possède un sommet de plus que la dimension de l'espace dans lequel cette figure est représentée. Un segment de droite, un triangle équilatéral ou non, un tétraèdre régulier ou non, sont des exemples de simplexes. Dans les problèmes de formulation, le nombre de sommets d'un simplexe est égal au nombre de constituants que l'on fait varier au sein du plan de mélange. Par voie de conséquence, la notion de simplexe ne se limite pas à l'étude de domaines expérimentaux définis par les variations de 4 constituants tout au plus, mais au-delà, la représentation graphique de tels domaines dans leur intégralité devient alors impossible.
Simplexe initial de hauteur unitaire
Simplexe régulier défini à partir des contraintes individuelles implicites (0 < xi < 1) et de la contrainte relationnelle implicite (x1 + x2 + ... + xq =1) uniquement, q étant le nombre de constituants. Les méthodes de maillage proposées par Henry Scheffé sous le nom de Simplex Lattice Design en 1958 et de Simplex Centroid Design en 1963 s'appliquent à des simplexes de hauteur unitaire. La transformation en pseudo-constituants permet d'adapter les matrices d'expériences à des domaines de hauteur réduite, toujours sous forme de simplexes, de même orientation (transformation L) ou d'orientation opposée (transformation U) au simplexe initial.
Simplexe L
Simplexe résultant de la prise en compte des contraintes individuelles inférieures explicites. Lorsqu'il existe, ce simplexe présente une même orientation que le simplexe initial et est intégralement inclus au sein de ce dernier. La hauteur de ce simplexe est caractérisée par sa mesure linéaire notée RL .
Simplex Lattice Design
Méthode de maillage empirique proposée par Henry Scheffé en 1958. Cette méthode ne s'applique que lorsque le domaine expérimental est un simplexe. Cette méthode consiste à choisir un degré de maillage, noté m, permettant de définir des proportions régulièrement espacées sur chacune des hauteurs du simplexe. L'ensemble des combinaisons que l'on peut ainsi réaliser à partir de ces proportions forme un réseau uniforme de mélanges que l'on note {q ; m} en présence de q constituants. On utilise généralement la forme canonique d'un modèle polynomial en adéquation avec le degré de maillage pour l'analyse des résultats. L'utilisation de formules analytiques destinées à l'estimation des coefficients des formes canoniques des modèles polynomiaux est aujourd'hui supplantée par l'utilisation de la méthode des moindres carrés, ou de toute autre méthode de régression.
Simplexe régulier
Simplexe pour lequel les arêtes sont de même longueur et les faces ou hyper-faces sont de même nature géométrique. En présence de trois constituants un simplexe régulier est un triangle équilatéral, désigné parfois sous le nom de diagramme ternaire.
Simplexe U
Simplexe résultant de la prise en compte des contraintes individuelles supérieures explicites. Lorsqu'il existe, ce simplexe présente une orientation opposée au simplexe initial. Il peut être intégralement ou non inclus au sein ce dernier. La hauteur de ce simplexe est caractérisée par sa mesure linéaire notée RU .
Slack Variable
Stratégie expérimentale dans laquelle les variations de la réponse sont modélisées uniquement à partir des variations des proportions de (q-1) constituants préalablement choisis, la proportion du qème constituant servant de variable d’ajustement.
Surface de réponse
Matérialisation sous forme graphique de l'équation d'un modèle dans un espace à 3 dimensions. L'axe vertical permet de reporter la variation de la réponse modélisée en fonction des variations de facteurs sélectionnés pour définir le plan de base de la représentation graphique. En présence d'un nombre important de facteurs, le choix des facteurs sélectionnés pour définir le plan de base est primordial pour éviter les risques d'erreurs d'interprétation. Il est fréquent de recourir à la projection des surfaces de réponse dans des plans bien définis afin d'obtenir des courbes d'isoréponse, plus facilement superposables dans un contexte d'optimisation multi-critères. On a également recours à la construction de la trace de la surface de réponse qui représente le résultat de la coupe de cette surface suivant différents axes du domaine expérimental. Le concept de surface de réponse peut être utilisé pour représenter une désirabilité individuelle ou une désirabilité globale. Les logiciels permettent d'habiller les surfaces de réponse avec de nombreuses options graphiques.
T
Trace de la surface de réponse
Représentation graphique plane bidimensionnelle matérialisant le profil en long d'une surface de réponse le long des différents axes d'un domaine expérimental, tous concourants par rapport à un mélange de référence préalablement choisi. La méthode consiste à choisir un mélange de référence interne au domaine expérimental à partir duquel on va définir autant d'axes qu'il y a de constituants, les axes passant tous par ce même mélange de référence. Suivant que ces axes rejoignent les constituants purs représentés par les sommets du simplexe initial, ou que les axes rejoignent les sommets du simplexe défini à partir des pseudo-constituants, on parlera de la trace suivant les axes de Cox ou de la trace suivant les axes de Piepel. On utilise alors l'équation du modèle pour matérialiser la variation de la réponse le long des axes choisis au sein du domaine expérimental, en fonction de l'écart par rapport au mélange de référence, qui est lui-même reporté en abscisse du graphique. Ce type de représentation est généralisable quelque soit le nombre de constituants, ce qui en fait l'intérêt à la fois pour la recherche d'un optimum et pour l'étude des variations des proportions des constituants au voisinage d'un mélange de référence. Sur le même principe, on peut construire la trace de la surface de réponse associée aux variables externes, comme les variables de procédé ou la quantité de mélange par exemple.
V
Variable de réponse
Voir : Réponse
Variable externe
Facteur associé aux variables internes qui peut représenter la nature des constituants, la quantité de mélange utilisée ou encore des variables technologiques telles que le cycle de malaxage ou le cycle de cuisson par exemple. Une variable externe peut être qualitative ou quantitative.
Variable interne
Facteur représentant un constituant au sein d'un mélange et qui intervient au cours du plan d'expériences au travers des variations de sa proportion. La nature du constituant introduit dans le mélange représente quant à elle une variable externe. Une variable interne est nécessairement quantitative.
