Les représentations triangulaires sont utilisées à de nombreuses reprises, souvent à des fins pédagogiques dans les supports de cours, pour illustrer les différents concepts de maillage proposés par Henry Scheffé ou pour représenter la conséquence de contraintes explicites sur la géométrie du domaine expérimental. Par ailleurs, on rencontre dans la littérature de nombreuses études de cas présentant l'utilisation des plans de mélange faisant appel à trois constituants. Enfin, l'usage des diagrammes ternaires ne se limite pas au contexte de la formulation : on peut trouver des applications de ce type de représentation graphique dans des méthodes d'analyse multidimensionnelle, telles que l'analyse factorielle des correspondance par exemple.
On ne trouve pas de possibilité de représentation triangulaire correspondant aux objectifs précités parmi les très nombreux graphiques accessibles depuis les menus du tableur Excel. Seuls des nuages radars présentant trois axes pourraient être apparentés à des diagrammes ternaires, mais leur usage se révélerait assez vite limité pour une application dans le contexte des plans de mélange.
Il m'a semblé opportun, pour répondre à de nombreuses demandes, de consacrer un article à ce type de représentation, en essayant de proposer une méthode formelle, qui contrairement à ce que l'on trouve parfois sur Internet, permettra à un utilisateur d'aller au-delà d'une simple représentation triangulaire, comme vous allez pouvoir le découvrir à partir des quatre séquences suivantes. Certes, nous ferons appel à la définition de la normale à une surface et à l'usage du gradient d'une fonction scalaire, puis au produit vectoriel de deux vecteurs, mais cet effort minime se trouvera vite récompensé.
Dans la première séquence, je rappelle tout d'abord quels sont les objectifs auxquels les diagrammes ternaires permettent de répondre, quand on est confronté à la mise en œuvre de mélanges à partir de trois constituants. J'introduis ensuite, à partir d'un mélange binaire, la notion essentielle à la base de la construction de la figure : la rotation barycentrique.
L'utilisation d'une rotation barycentrique nécessite dans un premier temps une translation au centre du domaine, puis dans un second temps, le recours à une matrice de rotation. L'objet de cette deuxième séquence consiste à présenter, pas à pas, la construction de cette matrice dans le cas d'un mélange ternaire.
Dès lors que l'on dispose de la méthode, il convient de tabuler correctement les données dans une feuille Excel, de façon à parvenir aisément au résultat escompté. Cette troisième séquence va illustrer des exemples de tabulation, à la fois pour représenter un quadrillage au sein d'un diagramme ternaire et pour transformer un maillage de type Simplex Lattice Design en courbes d'isoréponse, à partir de l'équation du modèle.
La quatrième séquence nous invite à rejoindre la salle informatique pour une mise en œuvre concrète du tableur Excel, avant de revenir sur une conclusion générale.
Il ne vous reste plus qu'à faire bon usage de cette transformation barycentrique !
