Formulation d'un verre nucléaire A (Partie II)

Cet article est consacré à la présentation de l'analyse des résultats, issus d'une publication de Gregory F. Piepel en 1992, à propos des verres nucléaires.

Tout d'abord, la sixième séquence rappelle les principes de mise en œuvre de la méthode des moindres carrés pour l'estimation des coefficients du modèle et des résidus. Classiquement appelée analyse mathématique, les étapes de cette démarche représentent une introduction à l'analyse de régression.

Pour porter un jugement sur les résultats de l'analyse mathématique, on a recours à des techniques statistiques, parfaitement formalisées, qui vont permettre ici de comparer pour chacune des réponses la qualité descriptive et prédictive des formes canoniques des modèles polynomiaux. C'est l'objet de cette septième séquence.

La distribution des valeurs de certaines réponses pouvait laisser supposer le nécessaire recours à une transformation. Le choix de la meilleure transformation renvoie à l'utilisation de la méthode proposée en 1964 par G.E.P. Box et D.R. Cox. On illustre dans cette huitième séquence l'usage d'une transformation inverse, d'une transformation en racine carrée ou encore d'une transformation logarithmique.

Disposant maintenant du meilleur modèle pour décrire le plus fidèlement possible la variation de chacune des réponses, il ne reste plus qu'à le représenter en utilisant la technique de la trace de la surface de réponse. La présentation de cette technique et les résultats qui en découlent font l'objet de cette neuvième séquence.

La dixième et dernière séquence consacrée à cette étude de cas porte sur l'interprétation de la trace de la surface de réponse et rappelle, dans une conclusion générale, les points-clés de cette présentation.

D'autres études de cas reviendront d'une part sur l'estimation des effets des variations des proportions des constituants et d'autre part sur la formulation des verres nucléaires.

Formulation d'un verre nucléaire A (Partie I)

De nombreux articles ont été publiés à l'initiative de Gregory F. Piepel dans le contexte des plans de mélange, avec de multiples applications dans le domaine des verres nucléaires. Nous allons dans cet article présenter un exemple mettant en jeu trois constituants dans un domaine sous contraintes. La construction du plan de mélanges s'appuie sur la méthode empirique proposée en 1966 par McLean et Anderson. Cette présentation est un préambule à la démarche d'estimation des effets des variations des proportions des constituants autour d'un mélange de référence ; cette problématique fera l'objet de développements plus détaillés dans quelques semaines.

La première séquence permet de rappeler non seulement le plan de la présentation de cette étude de cas, mais aussi les objectifs de l'étude et les réponse mesurées, à la fois en terme de viscosité et en terme de conductivité électrique. Ces réponses sont mesurées à haute température, puisque l'étude se situe dans le domaine de la vitrification de déchets.

La deuxième séquence rappelle les principes d'une approche indirecte, approche qui consiste à s'appuyer sur la construction et l'interprétation d'un modèle pour apporter des éléments de réponse aux questions posées. L'estimation des paramètres du modèle nécessite alors la mise en œuvre d'un plan d'expériences et cette deuxième séquence s'achève sur la présentation des facteurs, à savoir les fractions massiques des constituants utilisés comme facteurs dans cette étude.

La troisième séquence permet de présenter, à partir de cet exemple simple, la démarche méthodologique à adopter pour caractériser la géométrie du domaine expérimental. En effet, lorsque les contraintes individuelles explicites affectant les variations des proportions des constituants génèrent un polyèdre convexe, il convient de définir le nombre de sommets et d'arêtes de ce dernier. Plus généralement il faudra définir le nombre de sous-espaces dont les centres représentent des mélanges potentiellement candidats à l'expérimentation. On termine cette séquence en rappelant quelques éléments sur les formes canoniques des modèles polynomiaux.

La quatrième séquence présente pas à pas la construction de la matrice d'expériences et illustre à nouveau l'utilisation du graphe des leviers. La méthode retenue par les auteurs s'inspire de l'approche proposée par McLean et Anderson en 1966, approche appelée Extreme Vertices Design. Les mélanges internes sont judicieusement choisis par les auteurs, sans doute inspirés par une approche plus géométrique qu'algorithmique.

La cinquième séquence rapporte les résultats de l'expérimentation et fait ressortir, dans l'analyse globale, les possibilités d'usage des fonctions de répartition et des corrélations de rang afin d'anticiper le recours à certaines transformations lors des étapes consacrées à l'analyse mathématique et statistique. Il y a en effet, intuitivement, une relation entre la température nécessaire pour atteindre une viscosité égale à 10 Pa.s d'une part et la viscosité mesurée pour une température de 1330°C d'autre part. Cette corrélation se retrouvera plus tard dans l'analyse de la trace de la surface de réponse.

La seconde partie de la présentation de cette étude de cas illustrera, dès la semaine prochaine, les étapes de l'analyse de régression et de restitution graphique des informations apportées par les différents modèles.