Minitab 17 - Exemple 01

Dans cet article nous allons reprendre les données de l'étude de cas relative à la formulation d'un détergent, afin d'illustrer et de commenter la mise en œuvre de cet exemple à partir du logiciel Minitab, dans sa version 17.

Cet exemple de plan de mélange renvoie à l'utilisation d'un réseau de type Simplex Lattice Design avec un degré de maillage égal à 4, à partir duquel on cherche à mélanger de l'eau, de l'alcool et de l'urée, pour atteindre un compromis entre deux réponses soumises aux contraintes du cahier des charges.

Les données de cet exemple sont issues de la publication de deux auteurs français en 1972, J.P. Narcy et J. Renaud, les réseaux de type Simplex Lattice Design ayant été proposés par Henry Scheffé en 1958.

La première séquence concerne la création du plan de mélange, avec un rappel concernant la différence entre les maillages proposés par des réseaux de type  Simplex Centroid Design, des réseaux de type Extreme Vertices Design et des réseaux de type Simplex Lattice Design. On visualisera le domaine expérimental et le maillage retenu par les auteurs à la fin de cette première séquence.

La seconde séquence concerne l'analyse du plan de mélange. Cette séquence permet de commenter les différents résultats associés à l'analyse mathématique, à l'analyse statistique et à l'analyse graphique. On présentera en détail les différentes étapes du paramétrage de l'analyse en rappelant tout d'abord l'écriture des différentes formes canoniques des modèles polynomiaux. On commentera le tableau d'analyse de régression pour la forme canonique du modèle de degré 2.

Après avoir estimé les coefficients du modèle quartique (forme canonique du modèle polynomial de degré 4), on utilisera les nombreuses possibilités de restitution graphique telles que les courbes d'isoréponse ou la trace de la surface de réponse afin de rechercher un compromis acceptable par superposition des contours, lors de l'étape d'optimisation.

D'autres applications du logiciel Minitab dans le domaine des plans de mélange viendront compléter ce premier article.

Statgraphics XVII - Exemple 01

Dans cet article nous allons reprendre les données de l'étude de cas relative à la formulation de propergol, afin d'illustrer et de commenter la mise en œuvre de cet exemple à partir du logiciel Statgraphics, dans sa version XVII.

Cet exemple de plan de mélange renvoie à l'utilisation d'un réseau de type Simplex Centroid Design complété par des points axiaux, à partir duquel on cherche à mélanger un liant, un comburant et un combustile, pour atteindre une valeur particulière du module d'élasticité tout en minimisant la teneur en liant.

Les données de cet exemple sont issues de la publication de I.S. Kurotori en 1966, les réseaux de type Simplex Centroid Design ayant été proposés par Henry Scheffé en 1963.

La première séquence concerne la création du plan de mélange, avec un rappel succinct de la différence entre les réseaux de type Simplex Lattice Design et les réseaux de type Simplex Centroid Design. Il s'agit ici d'une procédure classique de création du plan d'expériences, la procédure renvoyant à l'utilisation d'un assistant fera quant à elle l'objet de la troisième séquence.

La deuxième séquence concerne l'analyse du plan de mélange. Cette séquence permet de commenter les différents résultats associés à l'analyse mathématique, à l'analyse statistique et à l'analyse graphique. Après avoir estimé les coefficients du modèle synergique de degré 3 ainsi que les résidus, on commentera différents aspects des diagnostics du modèle s'appuyant sur le tableau d'analyse de régression. Viendra enfin le temps de la restitution graphique sous forme de surface de réponse, de courbes d'isoréponse et enfin de trace de la surface de réponse. L'étape d'optimisation marque la fin de cette deuxième séquence.

La troisième séquence met en valeur l'assistant de création et d'analyse d'un plan de mélange qui guide, étape par étape, l'utilisateur en lui apportant des informations bien utiles telles que la valeur des leviers, la valeur des coefficients de variance, les courbes d'isovariance ou encore leur trace. On insistera essentiellement sur les étapes conduisant à la création du plan, les étapes d'analyse étant très similaires à celles présentées dans la deuxième séquence.

D'autres applications du logiciel Statgraphics dans le domaine des plans de mélange viendront compléter ce premier article.

Formulation d'un verre nucléaire A (Partie II)

Cet article est consacré à la présentation de l'analyse des résultats, issus d'une publication de Gregory F. Piepel en 1992, à propos des verres nucléaires.

Tout d'abord, la sixième séquence rappelle les principes de mise en œuvre de la méthode des moindres carrés pour l'estimation des coefficients du modèle et des résidus. Classiquement appelée analyse mathématique, les étapes de cette démarche représentent une introduction à l'analyse de régression.

Pour porter un jugement sur les résultats de l'analyse mathématique, on a recours à des techniques statistiques, parfaitement formalisées, qui vont permettre ici de comparer pour chacune des réponses la qualité descriptive et prédictive des formes canoniques des modèles polynomiaux. C'est l'objet de cette septième séquence.

La distribution des valeurs de certaines réponses pouvait laisser supposer le nécessaire recours à une transformation. Le choix de la meilleure transformation renvoie à l'utilisation de la méthode proposée en 1964 par G.E.P. Box et D.R. Cox. On illustre dans cette huitième séquence l'usage d'une transformation inverse, d'une transformation en racine carrée ou encore d'une transformation logarithmique.

Disposant maintenant du meilleur modèle pour décrire le plus fidèlement possible la variation de chacune des réponses, il ne reste plus qu'à le représenter en utilisant la technique de la trace de la surface de réponse. La présentation de cette technique et les résultats qui en découlent font l'objet de cette neuvième séquence.

La dixième et dernière séquence consacrée à cette étude de cas porte sur l'interprétation de la trace de la surface de réponse et rappelle, dans une conclusion générale, les points-clés de cette présentation.

D'autres études de cas reviendront d'une part sur l'estimation des effets des variations des proportions des constituants et d'autre part sur la formulation des verres nucléaires.

Formulation d'un liant pouzzolanique A (Partie II)

Après avoir détaillé, étape par étape la construction de la matrice d'expériences, nous allons décrire maintenant les articulations de l'analyse des résultats, depuis l'analyse globale jusqu'à la restitution graphique du modèle, sous forme de trace de la surface de réponse et de courbes d'isoréponse. C'est l'objet des six séquences publiées dans ce nouvel article.

Rappelons avant toute chose que les auteurs souhaitent maximiser la résistance d'un liant minéral constitué d'un mélange de cendres volantes (fly ash), de chaux (lime) et d'eau (water). Les performances mécaniques observées après 28 jours de vieillissement dans l'eau sont liées à la réactivité des cendres volantes, finement divisées et riches en silice soluble, provoquant ainsi une réaction qualifiée de pouzzolanique par les spécialistes.

Dans la cinquième séquence, nous allons aborder l'analyse globale des valeurs observées. Les courbures que l'on peut pressentir en reportant les valeurs observées sur un graphique laissent présager la présence de termes quadratiques ou cubiques significatifs traduisant des synergies. Par ailleurs, l'analyse de la fonction de répartition des valeurs observées révèle une différence importante entre le mélange situé au centre du domaine et les mélanges représentés par les sommets et les milieux des arêtes.

La sixième séquence est consacrée à l'analyse mathématique. Cette analyse consiste à estimer les coefficients du modèle et les résidus, à savoir les écarts de description entre les valeurs observées et les valeurs prévues à partir de l'équation du modèle. La méthode d'ajustement fait appel classiquement au critère des moindres carrés.

La septième séquence aborde l'analyse statique au travers de l'estimation de la qualité descriptive et de la qualité prédictive des modèles. Si la forme canonique du modèle de degré 1 se révèle de piètre qualité en raison des synergies provoquées par le mélange, la forme canonique du modèle de degré 2 et le modèle synergique de degré 3 présentent une qualité descriptive très satisfaisante. Toutefois, la forme canonique du modèle de degré 2 est un peu plus prédictive que le modèle synergique de degré 3 : elle sera retenue dans la suite de l'analyse.

La huitième séquence est dédiée à l'application d'une transformation de Box-Cox de la réponse pour améliorer encore la qualité du modèle. On retiendra l'utilisation d'une transformation logarithmique dans cette étude de cas.

La neuvième séquence porte sur la restitution graphique de l'équation du modèle : on représente dans cette étude de cas les courbes d'isoréponse et la trace de la surface de réponse dont on rappelle le principe de construction.

La dixième et dernière séquence illustre au travers de la conclusion de cette étude, la construction d'un second plan de mélange pour valider les résultats produits par le premier plan de mélange. Les auteurs utilisent les meilleurs essais du premier plan et les complètent par de nouveaux mélanges afin de modéliser la variation de la réponse dans ce nouveau domaine, plus restreint et mieux centré sur la zone d'intérêt d'un point de vue des performances mécaniques du liant pouzzolanique.

Si la méthode de construction d'un plan de mélange proposée par McLean et Anderson se limite à l'étude de mélanges présentant un nombre restreint de constituants, la démarche utilisée pour la définition des coordonnées des sommets et des centres des différents sous-espaces reste toujours d'actualité lors de la construction de plans optimaux que nous aborderons dans les prochains mois.

Formulation de propergol A (Partie II)

Dans cette étude de cas, I.S. Kurotori cherche à atteindre une valeur égale à 3000 pour le module d'élasticité caractérisant un mélange destiné à fabriquer du propergol. Parmi les trois constituants mélangés, l'auteur souhaite minimiser la quantité de liant. Ce problème d'optimisation fait appel à la construction d'un plan de mélange de type Simplex Centroid Design, dont la nature et le modèle d'interpolation associés ont été proposés en 1963 par Henry Scheffé.

Les séquences de la première partie ont permis d'illustrer, étape par étape la construction de la matrice d'expériences. Cette seconde partie est dédiée à l'analyse des résultats expérimentaux en insistant tour à tour sur les aspects mathématiques, les aspects statistiques et les aspects graphiques liés à cette étude de cas. Cette seconde partie comporte également cinq séquences.

Analyse globale : cette étape laisse entrevoir des possibilités d'optimisation près du centre du domaine. L'analyse de la fonction de répartition est associée à la cartographie des valeurs de la réponse au sein du domaine expérimental.

Analyse mathématique : on rappelle ici la méthode de résolution directe proposée par Henry Scheffé, le nombre de paramètres du modèle étant strictement égal au nombre de mélanges définis à partir d'un maillage de type Simplex Centroid Design. On complète cette première analyse par la mise en oeuvre de la méthode des moindres carrés pour l'estimation des coefficients du modèle et des résidus.

Analyse statistique : l'analyse statistique n'appelle pas de commentaires particuliers et permet de retenir comme "meilleur" modèle, le modèle synergique de degré 3. On s'appuie ici sur la qualité descriptive et sur la qualité prédictive de la modélisation, après avoir rappelé succinctement le principe de calcul de ces deux indicateurs.

Analyse graphique : la représentation des courbes iso-réponses est complétée par la représentation de la trace de la surface de réponse, après avoir rappelé les options de ce dernier type de représentation graphique : la trace suivant les axes de Cox et la trace suivant les axes de Piepel.

Conclusion : l'analyse des courbes iso-réponses permet d'identifier un mélange optimal pour lequel, d'après le modèle synergique de degré 3, la valeur du module d'élasticité doit être égale à 3000 en présentant une teneur minimale en liant (binder). Cette approche d'optimisation graphique est complétée par l'utilisation d'un "solveur" à partir d'un tableur informatique bien connu, approche portant le nom d'optimisation non  linéaire (nonlinear programming).

D'autres études de cas mettant en oeuvre des dispositifs de type Simplex Centroid Design apparaîtront au fil des articles de ce blog, montrant l'intérêt de cette démarche dans de nombreux secteurs industriels, lorsque l'on est en présence d'un nombre restreint de constituants d'une part et que le domaine expérimental est un simplexe d'autre part.

Vos commentaires sont toujours les bienvenus et permettront d'enrichir ce blog à partir de nouveaux articles.

Formulation d'un détergent A (Partie II)

La première partie de la présentation a permis de progresser, étape par étape, jusqu'à la construction de la matrice d'expériences, issue d'une méthode proposée par Henry Scheffé en 1958. Un plan de mélanges de type Simplex Lattice Design a suggéré aux expérimentateurs un maillage uniforme dans un domaine expérimental dont la géométrie est un simplexe.  Dans cet exemple, le degré de maillage doit permettre d'estimer la forme canonique du modèle polynomial de degré 4, encore appelé modèle quartique. Rappelons que cette étude de cas permet de revisiter un article publié par J.P. Narcy et J. Renaud en 1972 à propos de la formulation d'un détergent.

La seconde partie de la présentation s'intéresse à l'analyse de la variation des résultats expérimentaux à partir de différents volets restitués sous forme de cinq séquences.

Analyse globale : avant de se précipiter dans les menus d'analyse offerts par les logiciels et de recourir à des méthodes de modélisation, il est primordial de consacrer du temps à une observation préliminaire des valeurs observées. On présente ici l'utilisation des fonctions de répartition d'une part et de la carte de contrôle de l'étendue d'autre part, de telle sorte qu'à partir de graphiques aisément interprétables, on puisse énoncer des hypothèses pour la suite de l'analyse.

Analyse mathématique : il convient de rappeler la méthode de calcul direct et manuelle des coefficients du modèle proposée par Henry Scheffé en 1958, puis complétée par J.W. Gorman et J.E. Hinman en 1962. Par ailleurs une application "plus moderne" de la méthode des moindres carrés est mise en oeuvre de manière à estimer d'une part les coefficients des modèles et d'autre part les résidus : c'est l'objet de l'analyse mathématique.

Analyse statistique : on retrouve dans cette séquence une application particulière d'un chapitre de cours dédié au calcul la qualité descriptive et la qualité prédictive des modèles, que l'on restitue au travers de coefficients appelés R²ajusté et Q². On introduit également une méthode de transformation de la réponse, appelée transformation de Box-Cox. Cette transformation, qui n'avait pas été initialement envisagée par les auteurs de la publication en 1972, est rendue nécessaire pour améliorer la qualité des modèles en prenant en compte l'analyse de la fonction de répartition évoquée précédemment. Une solution alternative est suggérée en imposant des contraintes au domaine expérimental.

Analyse graphique : En présence de trois constituants, il est classique de restituer l'équation du modèle sous forme de courbes iso-réponses. A titre de comparaison, on juxtapose dans cette séquence les courbes proposées par les auteurs sur papier triangulaire, la restitution réalisée aujourd'hui à l'aide d'un logiciel dédié et la construction de ces courbes à l'aide d'un tableur. Complémentairement, la représentation de la trace de la surface de réponse peut être utilisée pour décrire graphiquement la variation d'une réponse autour d'un mélange de référence. Le rapprochement de la trace avec le tableau des valeurs observées permet de confirmer le choix de la transformation retenue à l'étape précédente.

Conclusion : La superposition des courbes iso-réponses permet d'isoler graphiquement un sous-domaine potentiellement intéressant pour l'optimisation du détergent faisant l'objet de l'étude. Un maillage complémentaire autour de l'optimum pressenti permettrait de confirmer les conclusions de cette première approche. On rappelle enfin dans cette conclusion les étapes clés présentées à partir de cette étude de cas.

Ainsi s'achève la présentation de la première étude de cas dans ce blog consacré aux plans d'expériences dédiés aux problèmes de formulation.

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