Statgraphics XVII - Exemple 01

Dans cet article nous allons reprendre les données de l'étude de cas relative à la formulation de propergol, afin d'illustrer et de commenter la mise en œuvre de cet exemple à partir du logiciel Statgraphics, dans sa version XVII.

Cet exemple de plan de mélange renvoie à l'utilisation d'un réseau de type Simplex Centroid Design complété par des points axiaux, à partir duquel on cherche à mélanger un liant, un comburant et un combustile, pour atteindre une valeur particulière du module d'élasticité tout en minimisant la teneur en liant.

Les données de cet exemple sont issues de la publication de I.S. Kurotori en 1966, les réseaux de type Simplex Centroid Design ayant été proposés par Henry Scheffé en 1963.

La première séquence concerne la création du plan de mélange, avec un rappel succinct de la différence entre les réseaux de type Simplex Lattice Design et les réseaux de type Simplex Centroid Design. Il s'agit ici d'une procédure classique de création du plan d'expériences, la procédure renvoyant à l'utilisation d'un assistant fera quant à elle l'objet de la troisième séquence.

La deuxième séquence concerne l'analyse du plan de mélange. Cette séquence permet de commenter les différents résultats associés à l'analyse mathématique, à l'analyse statistique et à l'analyse graphique. Après avoir estimé les coefficients du modèle synergique de degré 3 ainsi que les résidus, on commentera différents aspects des diagnostics du modèle s'appuyant sur le tableau d'analyse de régression. Viendra enfin le temps de la restitution graphique sous forme de surface de réponse, de courbes d'isoréponse et enfin de trace de la surface de réponse. L'étape d'optimisation marque la fin de cette deuxième séquence.

La troisième séquence met en valeur l'assistant de création et d'analyse d'un plan de mélange qui guide, étape par étape, l'utilisateur en lui apportant des informations bien utiles telles que la valeur des leviers, la valeur des coefficients de variance, les courbes d'isovariance ou encore leur trace. On insistera essentiellement sur les étapes conduisant à la création du plan, les étapes d'analyse étant très similaires à celles présentées dans la deuxième séquence.

D'autres applications du logiciel Statgraphics dans le domaine des plans de mélange viendront compléter ce premier article.

Formulation de propergol A (Partie II)

Dans cette étude de cas, I.S. Kurotori cherche à atteindre une valeur égale à 3000 pour le module d'élasticité caractérisant un mélange destiné à fabriquer du propergol. Parmi les trois constituants mélangés, l'auteur souhaite minimiser la quantité de liant. Ce problème d'optimisation fait appel à la construction d'un plan de mélange de type Simplex Centroid Design, dont la nature et le modèle d'interpolation associés ont été proposés en 1963 par Henry Scheffé.

Les séquences de la première partie ont permis d'illustrer, étape par étape la construction de la matrice d'expériences. Cette seconde partie est dédiée à l'analyse des résultats expérimentaux en insistant tour à tour sur les aspects mathématiques, les aspects statistiques et les aspects graphiques liés à cette étude de cas. Cette seconde partie comporte également cinq séquences.

Analyse globale : cette étape laisse entrevoir des possibilités d'optimisation près du centre du domaine. L'analyse de la fonction de répartition est associée à la cartographie des valeurs de la réponse au sein du domaine expérimental.

Analyse mathématique : on rappelle ici la méthode de résolution directe proposée par Henry Scheffé, le nombre de paramètres du modèle étant strictement égal au nombre de mélanges définis à partir d'un maillage de type Simplex Centroid Design. On complète cette première analyse par la mise en oeuvre de la méthode des moindres carrés pour l'estimation des coefficients du modèle et des résidus.

Analyse statistique : l'analyse statistique n'appelle pas de commentaires particuliers et permet de retenir comme "meilleur" modèle, le modèle synergique de degré 3. On s'appuie ici sur la qualité descriptive et sur la qualité prédictive de la modélisation, après avoir rappelé succinctement le principe de calcul de ces deux indicateurs.

Analyse graphique : la représentation des courbes iso-réponses est complétée par la représentation de la trace de la surface de réponse, après avoir rappelé les options de ce dernier type de représentation graphique : la trace suivant les axes de Cox et la trace suivant les axes de Piepel.

Conclusion : l'analyse des courbes iso-réponses permet d'identifier un mélange optimal pour lequel, d'après le modèle synergique de degré 3, la valeur du module d'élasticité doit être égale à 3000 en présentant une teneur minimale en liant (binder). Cette approche d'optimisation graphique est complétée par l'utilisation d'un "solveur" à partir d'un tableur informatique bien connu, approche portant le nom d'optimisation non  linéaire (nonlinear programming).

D'autres études de cas mettant en oeuvre des dispositifs de type Simplex Centroid Design apparaîtront au fil des articles de ce blog, montrant l'intérêt de cette démarche dans de nombreux secteurs industriels, lorsque l'on est en présence d'un nombre restreint de constituants d'une part et que le domaine expérimental est un simplexe d'autre part.

Vos commentaires sont toujours les bienvenus et permettront d'enrichir ce blog à partir de nouveaux articles.

Formulation de propergol A (Partie I)

Les données présentées dans cette étude de cas sont issues de la publication proposée par I.S. Kurotori en 1966 (et non en 1972, comme il apparaît sur la vignette au début de chacune des séquences). Cette publication illustre l'application des plans de mélange dans un domaine expérimental résultant de l'application de contraintes individuelles inférieures explicites aux valeurs des proportions des trois constituants : un liant (binder), un combustible (fuel) et un comburant (oxidizer). Ce mélange est destiné à la fabrication de propergol. La stratégie expérimentale retenue dans cette étude renvoie à la mise en oeuvre d'un dispositif de type Simplex Centroid Design.

La première partie de la présentation à laquelle vous pouvez accéder depuis cet article est découpée en 5 séquences décrivant les étapes depuis la définition du problème jusqu'à la construction de la matrice d'expériences.

Introduction : l'introduction permet de découvrir le plan de la présentation et les points clés qui seront plus particulièrement abordés dans les différentes séquences.

Objectif et stratégie : l'auteur cherche à obtenir un module d'élasticité égal à 3000 tout en minimisant la teneur en liant du mélange. Pour ce problème d'optimisation, l'auteur a retenu une méthode indirecte d'optimisation qui consiste à postuler un modèle d'interpolation a priori, l'estimation des paramètres de ce modèle faisant l'objet de la construction puis de l'analyse du plan d'expériences. Après avoir rappelé des méthodes alternatives, comme la méthode d'optimisation séquentielle du simplexe, une dernière planche permet de présenter une définition des plans d'expériences donnée par la norme ISO 3534-3.

Facteurs et domaine : après avoir rappelé l'origine du diagramme ternaire et des représentations triangulaires, on positionnera les contraintes individuelles inférieures explicites. L'espace expérimental réduit est également un simplexe de même orientation que le simplexe initial.

Modèle empirique : adopter la démarche des plans d'expériences consiste à choisir a priori (avant de faire des expériences) une forme particulière de modélisation que l'on exploitera a posteriori (après avoir réalisé l'ensemble des expériences) pour rechercher un optimum. Après avoir introduit en 1958 les formes canoniques de modèles polynomiaux, Henry Scheffé proposa en 1963 un autre type de modèle, appelé modèle synergique de degré q. Une comparaison des deux types d'écriture est positionnée au début de cette séquence. En présence de trois constituants, le modèle synergique de degré 3 s'écrit de la même manière que la forme canonique du modèle de degré 3 réduit, mais il faut veiller aux généralisations parfois hâtives que l'on peut rencontrer ici et là, dans la littérature et dans les logiciels !

Matrice d'expériences : dès lors que l'on connaît le nombre de paramètres du modèle à estimer, il ne reste plus qu'à définir un nombre nécessaire et suffisant de mélanges à réaliser, puis la nature de ces mélanges. La géométrie du domaine expérimental sous forme de simplexe facilite grandement la tâche des expérimentateurs, l'adaptation du maillage d'un simplexe de hauteur unitaire à un simplexe de hauteur réduite fera appel à la notion de pseudo-constituants. On illustre ici la construction d'un maillage de type Simplex Centroid Design, complété par la présence de points axiaux (Axial Design).

Vous découvrirez la semaine prochaine, les différentes étapes consacrées à l'analyse des résultats.