Formulation d'un liant pouzzolanique A (Partie I)

Les débutants apprécieront sûrement cette étude de cas, car elle permet d'illustrer la méthode de construction des plans de mélange proposée par McLean et Anderson, à partir d'un mélange ternaire qui offre la possibilité de représenter graphiquement de façon simple le domaine expérimental et les mélanges retenus dans la matrice d'expériences. Nous allons découvrir cette semaine sous forme de quatre séquences, les étapes qui conduisent de la définition du problème à la construction de la matrice d'expériences.

La première séquence rappelle l'origine des données et le contexte expérimental. Les auteurs cherchent à tirer profit de la réactivité chimique d'une cendre volante, riche en silice et en alumine, en la mélangeant à une poudre calcaire et à de l'eau pour former un liant pouzzonalique. Ce liant sera caractérisé après 28 jours de vieillissement dans de l'eau par un essai mécanique de compression dont la valeur représentera la seule réponse de l'étude. Il convient de maximiser cette performance.

La deuxième séquence propose différentes stratégies expérimentales offertes dans un contexte de formulation. La méthode d'optimisation séquentielle du simplexe sera évoquée et comparée à la stratégie retenue par les auteurs, à savoir une stratégie de type Component Proportions. En s'orientant vers un plan d'expériences, on suppose que les éléments d'information proviendront de l'analyse et de l'interprétation d'un modèle qualifié de modèle empirique. Construire un plan d'expériences consiste à définir ici un nombre nécessaire et suffisant de mélanges, ainsi que leur nature, de manière à estimer efficacement les paramètres du modèle. Un diagramme d'Ishikawa permet de présenter les facteurs de l'étude et les contraintes explicites associées à la variation de ces facteurs.

La troisième séquence s'intéresse à la caractérisation du domaine expérimental d'un point de vue géométrique en introduisant des notions utiles lorsqu'on ne peut plus matérialiser à partir d'une simple figure la géométrie de ce domaine. Lorsque les contraintes explicites représentant des réalités physico-chimiques exprimées par les experts conduisent à explorer un polyèdre convexe, il faut alors définir le nombre de sous-espaces de ce polyèdre. Il s'agit dans cet exemple de calculer le nombre de sommets et le nombre d'arêtes. On s'intéresse également dans cette séquence aux modèles destinés à l'exploration du domaine. Il s'agit de polynômes dont on retient la forme canonique ou la forme synergique. Le nombre de paramètres d'un modèle représente le nombre d'inconnues à estimer et il convient de satisfaire une première condition nécessaire dans la construction d'un plan d'expériences : le nombre de mélanges distincts doit être supérieur ou égal au nombre de monômes des modèles polynomiaux potentiellement utiles pour l'analyse de la variation de la réponse. En se limitant à l'utilisation d'un modèle synergique de degré 3, équivalent ici à la forme du modèle polynomial de degré 3 réduit, on sait qu'il est nécessaire de réaliser au moins 7 mélanges distincts.

La quatrième séquence illustre la construction de la matrice d'expériences en utilisant la méthode Extreme Vertices Design proposée en 1966 par McLean et Anderson. Cette méthode, pratique à mettre en œuvre en présence d'un nombre limité de constituants, a conduit les auteurs à retenir les 6 sommets du domaine, les milieux des 6 arêtes et le centre des sommets. Les 13 mélanges ainsi définis permettront d'estimer les paramètres des différents modèles envisagés lors de la séquence précédente. La matrice d'expériences retenue par les auteurs est également celle que propose un bon nombre de logiciels, notamment le logiciel Statistica qui est utilisé par les auteurs.

Pourtant, le dessin du domaine et des mélanges proposés au sein du polyèdre convexe auraient dû inciter les auteurs à envisager une stratégie alternative, généralement plus satisfaisante en terme de couverture "uniforme" ou "homogène" de l'espace expérimental, afin d'interpoler plus "sereinement" la variation de la réponse entre le centre du domaine et l'ensemble des autres mélanges situés à la périphérie du domaine ...

La seconde partie de la présentation de cette étude illustrera, dès la semaine prochaine, l'analyse des résultats.

Editorial Novembre 2015

La stratégie expérimentale proposée par McLean et Anderson en 1966 va donner lieu ce mois-ci à une nouvelle illustration au travers d'une étude de cas dont voici le contexte.

L'exemple choisi appartient au monde du ciment, liant minéral qui mélangé à de l'eau fait prise et durcit, même sous l'eau, ce qui lui vaut le qualificatif de liant hydraulique. Le ciment est un produit qui résulte d'un mélange de calcaire et d'argile que l'on cuit à haute température. Le produit formé, appelé clinker, est ensuite broyé et mélangé avec d'autres constituants pour atteindre des performances requises. Toutes ces transformations font de ce liant un ciment artificiel.

Il existe cependant des liants naturels pour lesquels on exploite les propriétés de pouzzolanicité. Ce dénominatif doit son origine à une petite ville, Pouzzoles au pied du Vésuve, où des cendres volcaniques ont manifesté des propriétés remarquables de cohésion, à un tel point qu'elles font partie des liants connus depuis l'Antiquité. Aujourd'hui, des sous-produits industriels tels que les cendres volantes issues des centrales thermiques présentent des analyses chimiques comparables aux cendres de Pouzzoles. Riches en silice et en alumine, des cendres volantes vont être mélangées à une poudre calcaire et à de l'eau en différentes proportions afin d'optimiser une propriété mécanique du mélange.

Cette étude de cas revisitée sera présentée sous la forme de 10 séquences au cours des deux dernières semaines du mois de novembre. Le domaine expérimental sous forme de polyèdre convexe se prête bien à l'approche proposée par McLean et Anderson, même s'il est possible de proposer, certes a posteriori, une approche alternative séduisante. On mettra en œuvre à nouveau la méthode de Box-Cox pour choisir une transformation judicieuse de la réponse. Enfin, il est original de constater que la validation du premier plan de mélange proposé par les auteurs fait appel à un second plan de mélange.

Avant d'aborder cette étude de cas apparentée au domaine de la céramique, des verres et des bétons, je présenterai un troisième ouvrage de référence dans ce blog. Il s'agit du livre publié par Wendell F. Smith en 2005 et intitulé : "Experimental Design for Formulation". Bien que plus concis, il est très complémentaire de l'ouvrage de John A. Cornell, avec une vision plus industrielle et moins académique des plans de mélange.

Je profite de cet éditorial pour vous annoncer l'organisation d'une journée technique sur les plans d'expériences destinés à estimer et à comparer les effets des facteurs. Cette journée, organisée par le Pôle Européen de la Céramique, aura lieu à Vierzon le 10 décembre prochain. Vous trouverez ci-dessous une courte présentation de cette journée sous forme d'un petit clip vidéo. N'hésitez pas à me contacter pour plus d'informations.

Enfin, je suis ravi que ce blog puisse inspirer les enseignants chargés de la mise en oeuvre d'une partie de la réforme du BTS Chimie. Je remercie Cécile, professeure dans un grand lycée parisien, de contribuer à la diffusion de ce blog auprès de ces nombreux collègues en quête d'idées et d'informations.

Plans de mélange : Extreme Vertices Design

Lorsque des contraintes explicites transforment la géométrie du domaine expérimental en polyèdre convexe, il convient naturellement d'adapter les approches dédiées à la modélisation au sein d'un simplexe de hauteur unitaire ou de hauteur réduite.

La modélisation au sein d'un polyèdre convexe présente aujourd'hui de nombreux aspects, à la fois méthodologiques, géométriques et algorithmiques. Quand McLean et Anderson publièrent leur article fondateur en 1966, ils eurent l'idée d'associer une approche empirique à la définition géométrique du domaine expérimental. Ce dernier est caractérisé par un nombre de sommets strictement supérieur au nombre de constituants. Les coordonnées des sommets permettent alors de définir les coordonnées des centres de nombreux sous-espaces parmi lesquels on retrouve des arêtes et des faces, plus ou moins longues ou plus ou moins régulières. En présence d'un nombre restreint de constituants, un maillage du domaine ou du moins de sa périphérie, à partir des sommets et des différents centres permet de définir un nombre nécessaire et suffisant de mélanges pour estimer par la suite les coefficients de la forme canonique d'un modèle polynomial de degré 2. Ce maillage empirique peut être construit de façon manuelle et cette méthode empirique, mais néanmoins performante, est typiquement désignée par la locution Extreme Vertices Design.

La première séquence illustre la méthode de vérification de la compatibilité des contraintes individuelles inférieures et supérieures explicites. En effet, toutes les contraintes doivent contribuer à la définition du domaine expérimental, les coordonnées des sommets étant par la suite définies à partir de l'intersection des contraintes. On présente également dans cette séquence la méthode d'ajustement des contraintes incompatibles et un logigramme permettant de prédire de façon simple, la nature géométrique du domaine sous forme de simplexe ou de polyèdre convexe.

La deuxième séquence utilise différents mélanges à trois constituants pour illustrer une typologie des configurations géométriques. On peut ainsi rencontrer des polyèdres convexes isotropes ou fortement anisotropes qui, par voie de conséquence, vont limiter la possibilité d'un maillage uniforme de façon simple.

La troisième séquence explique, à partir d'un exemple, comment calculer facilement les coordonnées des sommets d'un polyèdre convexe, à partir de l'intersection des différentes contraintes individuelles inférieures et supérieures explicites. On utilise alors les coordonnées des sommets pour calculer les coordonnées du centre des sommets à qui l'on attribue, un peu à tort, le nom de centre du domaine. Il est primordial d'introduire systématiquement ce centre dans la matrice d'expériences.

La quatrième et dernière séquence de ce cours permet de compléter dans un premier temps le maillage précédent à partir de mélanges positionnés au milieu des arêtes. Dans un second temps, on montre la limite de la méthode proposée par McLean et Anderson au delà de cinq ou six constituants pour construire une matrice d'expériences à partir de règles empiriques simples. On évoque alors l'existence de méthodes algorithmiques ou géométriques que l'on présentera ultérieurement dans ce blog.

Différentes études de cas viendront illustrer les concepts présentés dans cet article en élargissant en particulier la démarche à des mélanges présentant 4 constituants.

Chacune des séquences est ponctuée par un quizz de quelques questions ; en répondant à ces questions, vous capitaliserez ainsi les connaissances apprises lors de ce chapitre.

Editorial Octobre 2015

Les publications proposées par Henry Scheffé en 1958 et en 1963 pour le maillage expérimental d'un domaine sous forme de simplexe ont rapidement été complétées en 1966, afin d'offrir une stratégie expérimentale lorsque des contraintes explicites affectant la variation des proportions des constituants transforment la géométrie du domaine en polyèdre convexe.

L'initiative est due à McLean et Anderson en 1966 dans un article dont le titre indique que les sommets du domaine expérimental vont jouer un rôle important dans la construction du plan de mélange et qui donnera le nom à la méthode : Extreme Vertices Design. Il s'agit encore une fois d'une méthode empirique et pragmatique, les critères d'optimalité, les algorithmes d'échanges et l'accès aux calculs numériques étant rares ou encore inexistants à cette époque. Mais cette méthode tire encore aujourd'hui largement son épingle du jeu et inspire même la construction de viviers de mélanges candidats pour la mise en œuvre des algorithmes d'échanges, dont on reparlera plus tard.

Le mois d'octobre sera donc consacré à cette approche empirique, tout d'abord grâce à un cours introductif basé sur des mélanges ternaires, puis avec une présentation revisitée de la publication proposée par McLean et Anderson en 1966 mettant en œuvre 4 constituants.

La semaine prochaine vous découvrirez les séquences du cours, qui invitent à comprendre les conséquences de l'application des contraintes explicites sur la géométrie du domaine à partir d'un mélange ternaire.

La semaine suivante, les premières séquences de présentation de l'exemple de McLean et Anderson vous montreront comment la construction d'une maquette permet de comprendre, d'un point de vue géométrique, le bien-fondé de la méthode de maillage. Cette approche rendue possible en raison de la présence de 4 constituants uniquement sera reproduite à plusieurs reprises dans ce blog, pour illustrer de nombreuses études de cas.

En dernière semaine, la suite des séquences de présentation de l'exemple de McLean et Anderson nous renverra à l'application de la méthode des moindres carrés. L'estimation des coefficients et des résidus relève de l'approche mathématique tandis que l'estimation de la qualité descriptive et prédictive du modèle relève de l'approche statistique de l'analyse de régression. La restitution de l'équation du modèle, même si sa qualité prédictive est faible, permettra de revenir sur la méthode de construction et d'interprétation de la trace de la surface de réponse.

Depuis le mois de juin, nous avons posé, article après article, les bases fondatrices de la méthode des plans d'expériences dédiés aux problèmes de formulation, en se limitant il est vrai à la stratégie de type Component Proportions. Si les méthodes de construction présentées depuis le début (Simplex Lattice Design, Simplex Centroid Design, Extreme Vertices Design) peuvent être qualifiées d'empiriques, elles sont néanmoins nécessaires pour la compréhension de méthodes de construction complémentaires que l'on qualifiera d'algorithmiques et que l'on présentera au fil de prochains articles.

Le glossaire s'étoffe au fil des semaines et de la publication de nouveaux articles. Il offrira bientôt près de 40 entrées ; n'hésitez pas à consulter régulièrement cette page évolutive ! Le mois d'octobre sera consacré à l'enregistrement des premières séquences qui alimenteront d'ici la fin de l'année la page "Excel & Logiciels". D'autres études de cas dans le domaine de la galénique et de la céramique sont également en cours de préparation avant d'aborder de nouvelles séquences de cours. Nous en reparlerons dans un prochain éditorial. Merci enfin à tous ceux qui m'adressent des remerciements pour ce blog, des encouragements et des remarques. Un clin d’œil particulier ira ce mois-ci à Mohammed qui enseigne les plans d'expériences depuis une dizaine d'années et qui se reconnaîtra dans ce message.