Formulation d'un liant pouzzolanique A (Partie II)

Après avoir détaillé, étape par étape la construction de la matrice d'expériences, nous allons décrire maintenant les articulations de l'analyse des résultats, depuis l'analyse globale jusqu'à la restitution graphique du modèle, sous forme de trace de la surface de réponse et de courbes d'isoréponse. C'est l'objet des six séquences publiées dans ce nouvel article.

Rappelons avant toute chose que les auteurs souhaitent maximiser la résistance d'un liant minéral constitué d'un mélange de cendres volantes (fly ash), de chaux (lime) et d'eau (water). Les performances mécaniques observées après 28 jours de vieillissement dans l'eau sont liées à la réactivité des cendres volantes, finement divisées et riches en silice soluble, provoquant ainsi une réaction qualifiée de pouzzolanique par les spécialistes.

Dans la cinquième séquence, nous allons aborder l'analyse globale des valeurs observées. Les courbures que l'on peut pressentir en reportant les valeurs observées sur un graphique laissent présager la présence de termes quadratiques ou cubiques significatifs traduisant des synergies. Par ailleurs, l'analyse de la fonction de répartition des valeurs observées révèle une différence importante entre le mélange situé au centre du domaine et les mélanges représentés par les sommets et les milieux des arêtes.

La sixième séquence est consacrée à l'analyse mathématique. Cette analyse consiste à estimer les coefficients du modèle et les résidus, à savoir les écarts de description entre les valeurs observées et les valeurs prévues à partir de l'équation du modèle. La méthode d'ajustement fait appel classiquement au critère des moindres carrés.

La septième séquence aborde l'analyse statique au travers de l'estimation de la qualité descriptive et de la qualité prédictive des modèles. Si la forme canonique du modèle de degré 1 se révèle de piètre qualité en raison des synergies provoquées par le mélange, la forme canonique du modèle de degré 2 et le modèle synergique de degré 3 présentent une qualité descriptive très satisfaisante. Toutefois, la forme canonique du modèle de degré 2 est un peu plus prédictive que le modèle synergique de degré 3 : elle sera retenue dans la suite de l'analyse.

La huitième séquence est dédiée à l'application d'une transformation de Box-Cox de la réponse pour améliorer encore la qualité du modèle. On retiendra l'utilisation d'une transformation logarithmique dans cette étude de cas.

La neuvième séquence porte sur la restitution graphique de l'équation du modèle : on représente dans cette étude de cas les courbes d'isoréponse et la trace de la surface de réponse dont on rappelle le principe de construction.

La dixième et dernière séquence illustre au travers de la conclusion de cette étude, la construction d'un second plan de mélange pour valider les résultats produits par le premier plan de mélange. Les auteurs utilisent les meilleurs essais du premier plan et les complètent par de nouveaux mélanges afin de modéliser la variation de la réponse dans ce nouveau domaine, plus restreint et mieux centré sur la zone d'intérêt d'un point de vue des performances mécaniques du liant pouzzolanique.

Si la méthode de construction d'un plan de mélange proposée par McLean et Anderson se limite à l'étude de mélanges présentant un nombre restreint de constituants, la démarche utilisée pour la définition des coordonnées des sommets et des centres des différents sous-espaces reste toujours d'actualité lors de la construction de plans optimaux que nous aborderons dans les prochains mois.

Formulation d'un liant pouzzolanique A (Partie I)

Les débutants apprécieront sûrement cette étude de cas, car elle permet d'illustrer la méthode de construction des plans de mélange proposée par McLean et Anderson, à partir d'un mélange ternaire qui offre la possibilité de représenter graphiquement de façon simple le domaine expérimental et les mélanges retenus dans la matrice d'expériences. Nous allons découvrir cette semaine sous forme de quatre séquences, les étapes qui conduisent de la définition du problème à la construction de la matrice d'expériences.

La première séquence rappelle l'origine des données et le contexte expérimental. Les auteurs cherchent à tirer profit de la réactivité chimique d'une cendre volante, riche en silice et en alumine, en la mélangeant à une poudre calcaire et à de l'eau pour former un liant pouzzonalique. Ce liant sera caractérisé après 28 jours de vieillissement dans de l'eau par un essai mécanique de compression dont la valeur représentera la seule réponse de l'étude. Il convient de maximiser cette performance.

La deuxième séquence propose différentes stratégies expérimentales offertes dans un contexte de formulation. La méthode d'optimisation séquentielle du simplexe sera évoquée et comparée à la stratégie retenue par les auteurs, à savoir une stratégie de type Component Proportions. En s'orientant vers un plan d'expériences, on suppose que les éléments d'information proviendront de l'analyse et de l'interprétation d'un modèle qualifié de modèle empirique. Construire un plan d'expériences consiste à définir ici un nombre nécessaire et suffisant de mélanges, ainsi que leur nature, de manière à estimer efficacement les paramètres du modèle. Un diagramme d'Ishikawa permet de présenter les facteurs de l'étude et les contraintes explicites associées à la variation de ces facteurs.

La troisième séquence s'intéresse à la caractérisation du domaine expérimental d'un point de vue géométrique en introduisant des notions utiles lorsqu'on ne peut plus matérialiser à partir d'une simple figure la géométrie de ce domaine. Lorsque les contraintes explicites représentant des réalités physico-chimiques exprimées par les experts conduisent à explorer un polyèdre convexe, il faut alors définir le nombre de sous-espaces de ce polyèdre. Il s'agit dans cet exemple de calculer le nombre de sommets et le nombre d'arêtes. On s'intéresse également dans cette séquence aux modèles destinés à l'exploration du domaine. Il s'agit de polynômes dont on retient la forme canonique ou la forme synergique. Le nombre de paramètres d'un modèle représente le nombre d'inconnues à estimer et il convient de satisfaire une première condition nécessaire dans la construction d'un plan d'expériences : le nombre de mélanges distincts doit être supérieur ou égal au nombre de monômes des modèles polynomiaux potentiellement utiles pour l'analyse de la variation de la réponse. En se limitant à l'utilisation d'un modèle synergique de degré 3, équivalent ici à la forme du modèle polynomial de degré 3 réduit, on sait qu'il est nécessaire de réaliser au moins 7 mélanges distincts.

La quatrième séquence illustre la construction de la matrice d'expériences en utilisant la méthode Extreme Vertices Design proposée en 1966 par McLean et Anderson. Cette méthode, pratique à mettre en œuvre en présence d'un nombre limité de constituants, a conduit les auteurs à retenir les 6 sommets du domaine, les milieux des 6 arêtes et le centre des sommets. Les 13 mélanges ainsi définis permettront d'estimer les paramètres des différents modèles envisagés lors de la séquence précédente. La matrice d'expériences retenue par les auteurs est également celle que propose un bon nombre de logiciels, notamment le logiciel Statistica qui est utilisé par les auteurs.

Pourtant, le dessin du domaine et des mélanges proposés au sein du polyèdre convexe auraient dû inciter les auteurs à envisager une stratégie alternative, généralement plus satisfaisante en terme de couverture "uniforme" ou "homogène" de l'espace expérimental, afin d'interpoler plus "sereinement" la variation de la réponse entre le centre du domaine et l'ensemble des autres mélanges situés à la périphérie du domaine ...

La seconde partie de la présentation de cette étude illustrera, dès la semaine prochaine, l'analyse des résultats.