Formulation d'un verre nucléaire A (Partie II)

Cet article est consacré à la présentation de l'analyse des résultats, issus d'une publication de Gregory F. Piepel en 1992, à propos des verres nucléaires.

Tout d'abord, la sixième séquence rappelle les principes de mise en œuvre de la méthode des moindres carrés pour l'estimation des coefficients du modèle et des résidus. Classiquement appelée analyse mathématique, les étapes de cette démarche représentent une introduction à l'analyse de régression.

Pour porter un jugement sur les résultats de l'analyse mathématique, on a recours à des techniques statistiques, parfaitement formalisées, qui vont permettre ici de comparer pour chacune des réponses la qualité descriptive et prédictive des formes canoniques des modèles polynomiaux. C'est l'objet de cette septième séquence.

La distribution des valeurs de certaines réponses pouvait laisser supposer le nécessaire recours à une transformation. Le choix de la meilleure transformation renvoie à l'utilisation de la méthode proposée en 1964 par G.E.P. Box et D.R. Cox. On illustre dans cette huitième séquence l'usage d'une transformation inverse, d'une transformation en racine carrée ou encore d'une transformation logarithmique.

Disposant maintenant du meilleur modèle pour décrire le plus fidèlement possible la variation de chacune des réponses, il ne reste plus qu'à le représenter en utilisant la technique de la trace de la surface de réponse. La présentation de cette technique et les résultats qui en découlent font l'objet de cette neuvième séquence.

La dixième et dernière séquence consacrée à cette étude de cas porte sur l'interprétation de la trace de la surface de réponse et rappelle, dans une conclusion générale, les points-clés de cette présentation.

D'autres études de cas reviendront d'une part sur l'estimation des effets des variations des proportions des constituants et d'autre part sur la formulation des verres nucléaires.

Formulation d'un verre nucléaire A (Partie I)

De nombreux articles ont été publiés à l'initiative de Gregory F. Piepel dans le contexte des plans de mélange, avec de multiples applications dans le domaine des verres nucléaires. Nous allons dans cet article présenter un exemple mettant en jeu trois constituants dans un domaine sous contraintes. La construction du plan de mélanges s'appuie sur la méthode empirique proposée en 1966 par McLean et Anderson. Cette présentation est un préambule à la démarche d'estimation des effets des variations des proportions des constituants autour d'un mélange de référence ; cette problématique fera l'objet de développements plus détaillés dans quelques semaines.

La première séquence permet de rappeler non seulement le plan de la présentation de cette étude de cas, mais aussi les objectifs de l'étude et les réponse mesurées, à la fois en terme de viscosité et en terme de conductivité électrique. Ces réponses sont mesurées à haute température, puisque l'étude se situe dans le domaine de la vitrification de déchets.

La deuxième séquence rappelle les principes d'une approche indirecte, approche qui consiste à s'appuyer sur la construction et l'interprétation d'un modèle pour apporter des éléments de réponse aux questions posées. L'estimation des paramètres du modèle nécessite alors la mise en œuvre d'un plan d'expériences et cette deuxième séquence s'achève sur la présentation des facteurs, à savoir les fractions massiques des constituants utilisés comme facteurs dans cette étude.

La troisième séquence permet de présenter, à partir de cet exemple simple, la démarche méthodologique à adopter pour caractériser la géométrie du domaine expérimental. En effet, lorsque les contraintes individuelles explicites affectant les variations des proportions des constituants génèrent un polyèdre convexe, il convient de définir le nombre de sommets et d'arêtes de ce dernier. Plus généralement il faudra définir le nombre de sous-espaces dont les centres représentent des mélanges potentiellement candidats à l'expérimentation. On termine cette séquence en rappelant quelques éléments sur les formes canoniques des modèles polynomiaux.

La quatrième séquence présente pas à pas la construction de la matrice d'expériences et illustre à nouveau l'utilisation du graphe des leviers. La méthode retenue par les auteurs s'inspire de l'approche proposée par McLean et Anderson en 1966, approche appelée Extreme Vertices Design. Les mélanges internes sont judicieusement choisis par les auteurs, sans doute inspirés par une approche plus géométrique qu'algorithmique.

La cinquième séquence rapporte les résultats de l'expérimentation et fait ressortir, dans l'analyse globale, les possibilités d'usage des fonctions de répartition et des corrélations de rang afin d'anticiper le recours à certaines transformations lors des étapes consacrées à l'analyse mathématique et statistique. Il y a en effet, intuitivement, une relation entre la température nécessaire pour atteindre une viscosité égale à 10 Pa.s d'une part et la viscosité mesurée pour une température de 1330°C d'autre part. Cette corrélation se retrouvera plus tard dans l'analyse de la trace de la surface de réponse.

La seconde partie de la présentation de cette étude de cas illustrera, dès la semaine prochaine, les étapes de l'analyse de régression et de restitution graphique des informations apportées par les différents modèles.

Construire un simplexe autour d'un mélange de référence

Dans tout problème d'optimisation, il est recommandé de disposer d'un mélange de référence représentant un point de fonctionnement pour lequel on souhaite améliorer les performances. Naturellement, on ne sait pas dans quelle direction ni à quelle distance se situe ce meilleur mélange, et à condition naturellement que celui-ci existe.

Partant de ce point de fonctionnement, on peut adopter une approche directe d'optimisation, encore appelée méthode d'optimisation séquentielle du simplexe. On peut également définir un voisinage à partir de contraintes explicites, puis définir des expériences au sein de ce domaine afin de construire un modèle que l'on exploitera à des fins d'optimisation. S'il prend la forme d'un simplexe, ce domaine permettra d'adopter des méthodes bien connues pour définir un plan de mélange, en faisant en particulier référence aux dispositifs proposés par Henry Scheffé. Il s'agit alors d'une approche indirecte d'optimisation. 

La première séquence permet de présenter les différentes stratégies disponibles lorsqu'on dispose d'un mélange référence.

La deuxième séquence rappelle des règles de base sur la géométrie des simplexes, la définition des coordonnées des sommets et l'usage des pseudo-constituants.

La troisième séquence illustre la construction du plus grand simplexe qu'il est possible de développer autour d'un mélange de référence. On s'intéresse également dans cette séquence à la situation particulière qui impose des contraintes individuelles inférieures explicites aux variations des proportions des constituants.

La quatrième et dernière séquence s'intéresse à la présence de contraintes bilatérales définies autour d'un mélange de référence. Il s'agit alors de construire le plus grand simplexe possible dans un polyèdre convexe.

N'oubliez pas de répondre aux questions des quizz qui ponctuent chacune des séquences !

Excel - Construction d'un diagramme ternaire

Les représentations triangulaires sont utilisées à de nombreuses reprises, souvent à des fins pédagogiques dans les supports de cours, pour illustrer les différents concepts de maillage proposés par Henry Scheffé ou pour représenter la conséquence de contraintes explicites sur la géométrie du domaine expérimental. Par ailleurs, on rencontre dans la littérature de nombreuses études de cas présentant l'utilisation des plans de mélange faisant appel à trois constituants. Enfin, l'usage des diagrammes ternaires ne se limite pas au contexte de la formulation : on peut trouver des applications de ce type de représentation graphique dans des méthodes d'analyse multidimensionnelle, telles que l'analyse factorielle des correspondance par exemple.

On ne trouve pas de possibilité de représentation triangulaire correspondant aux objectifs précités parmi les très nombreux graphiques accessibles depuis les menus du tableur Excel. Seuls des nuages radars présentant trois axes pourraient être apparentés à des diagrammes ternaires, mais leur usage se révélerait assez vite limité pour une application dans le contexte des plans de mélange.

Il m'a semblé opportun, pour répondre à de nombreuses demandes, de consacrer un article à ce type de représentation, en essayant de proposer une méthode formelle, qui contrairement à ce que l'on trouve parfois sur Internet, permettra à un utilisateur d'aller au-delà d'une simple représentation triangulaire, comme vous allez pouvoir le découvrir à partir des quatre séquences suivantes. Certes, nous ferons appel à la définition de la normale à une surface et à l'usage du gradient d'une fonction scalaire, puis au produit vectoriel de deux vecteurs, mais cet effort minime se trouvera vite récompensé.

Dans la première séquence, je rappelle tout d'abord quels sont les objectifs auxquels les diagrammes ternaires permettent de répondre, quand on est confronté à la mise en œuvre de mélanges à partir de trois constituants. J'introduis ensuite, à partir d'un mélange binaire, la notion essentielle à la base de la construction de la figure : la rotation barycentrique.

L'utilisation d'une rotation barycentrique nécessite dans un premier temps une translation au centre du domaine, puis dans un second temps, le recours à une matrice de rotation. L'objet de cette deuxième séquence consiste à présenter, pas à pas, la construction de cette matrice dans le cas d'un mélange ternaire.

Dès lors que l'on dispose de la méthode, il convient de tabuler correctement les données dans une feuille Excel, de façon à parvenir aisément au résultat escompté. Cette troisième séquence va illustrer des exemples de tabulation, à la fois pour représenter un quadrillage au sein d'un diagramme ternaire et pour transformer un maillage de type Simplex Lattice Design en courbes d'isoréponse, à partir de l'équation du modèle.

La quatrième séquence nous invite à rejoindre la salle informatique pour une mise en œuvre concrète du tableur Excel, avant de revenir sur une conclusion générale.

Il ne vous reste plus qu'à faire bon usage de cette transformation barycentrique !

Editorial Décembre 2015

Avant de présenter le programme du mois de décembre, je me dois de remercier un certain nombre de personnes qui contribuent au développement de ce blog depuis bientôt six mois. En effet, ce blog donnera lieu en juin prochain à la mise en ligne d'un ensemble de ressources dans le cadre d'une université numérique, ressources que je vous fais partager au fur et à mesure de la publication des articles dans ce blog. Ce blog continuera à exister quant à lui avec des parutions régulières, au delà de la mise en ligne d'une université numérique, car je crois que nous sommes loin d'avoir épuisé le sujet.

Le premier remerciement s'adresse à Fabrice, dessinateur qui a réalisé le bandeau d'accès aux trois ressources essentielles dans le cadre d'une université numérique : les supports de cours, les études de cas et la partie dédiée à l'informatique. Le cahier des charges imposait de faire référence au nouveau bâtiment qui accueille l’École Nationale Supérieure de Céramique Industrielle à Limoges depuis 2010. C'est ainsi que l'on retrouve le bâtiment des amphithéâtres sous la forme d'une pyramide inversée et la spirale du peintre et artiste Felice Varini, constituant l’œuvre d'art de l'établissement.

Il convient également de remercier Halima, chargée de communication auprès de la Société Chimique de France, qui a accepté de référencer le blog sur la page "Blogs et réseaux sociaux", malgré la refonte et la réorganisation en cours du site Internet de la SCF. Merci également à Gilles, webmestre du groupe enseignement de la Société Française De Statistiques, qui va référencer ce blog dans les prochaines semaines dans la page "Ressources pour l'enseignement / par filières" du site de la SFDS.

Merci grandement à Agnès et Christian, représentants de deux sociétés diffusant en France des solutions informatiques, pour m'avoir octroyé et aidé à installer une licence gratuite de leur logiciel de plans d'expériences. Les dernières versions des logiciels Statgraphics et Minitab donneront ainsi lieu à des articles illustrant des applications de ces logiciels dans le domaine des plans de mélange.

Merci enfin pour les amicales et constructives remarques que je reçois de temps à autre, m'encourageant dans le développement de nouveaux articles ; l'éditorial du mois de janvier présentera la finalisation d'un programme pour le premier semestre 2016.

Venons-en maintenant au programme du mois de Décembre qui va permettre d'enrichir la boîte à outils en présentant d'une part une méthode de construction d'un simplexe autour d'un mélange de référence et d'autre part, la mise en oeuvre du tableur Excel pour des représentations triangulaires, encore désignées sous le nom de diagramme ternaire. Je sais que beaucoup d'entre-vous attendent avec impatience, le moyen et la méthode pour représenter des courbes d'isoréponse dans un diagramme ternaire à l'aide d'un tableur : votre vœu sera exaucé avant les agapes de fin d'année !

Je laisse encore planer le mystère pour le contenu des deux derniers articles de l'année, mais rassurez-vous, ils contribueront à remplir des pages encore bien vides de ce blog et vous aideront à passer, agréablement je l'espère, la période tant redoutée de la trêve des confiseurs.

Avant de clore l'année 2015, je vous souhaite à toutes et à tous un agréable mois de Décembre et d'excellentes fêtes de fin d'année.