Formulation de propergol A (Partie II)

Dans cette étude de cas, I.S. Kurotori cherche à atteindre une valeur égale à 3000 pour le module d'élasticité caractérisant un mélange destiné à fabriquer du propergol. Parmi les trois constituants mélangés, l'auteur souhaite minimiser la quantité de liant. Ce problème d'optimisation fait appel à la construction d'un plan de mélange de type Simplex Centroid Design, dont la nature et le modèle d'interpolation associés ont été proposés en 1963 par Henry Scheffé.

Les séquences de la première partie ont permis d'illustrer, étape par étape la construction de la matrice d'expériences. Cette seconde partie est dédiée à l'analyse des résultats expérimentaux en insistant tour à tour sur les aspects mathématiques, les aspects statistiques et les aspects graphiques liés à cette étude de cas. Cette seconde partie comporte également cinq séquences.

Analyse globale : cette étape laisse entrevoir des possibilités d'optimisation près du centre du domaine. L'analyse de la fonction de répartition est associée à la cartographie des valeurs de la réponse au sein du domaine expérimental.

Analyse mathématique : on rappelle ici la méthode de résolution directe proposée par Henry Scheffé, le nombre de paramètres du modèle étant strictement égal au nombre de mélanges définis à partir d'un maillage de type Simplex Centroid Design. On complète cette première analyse par la mise en oeuvre de la méthode des moindres carrés pour l'estimation des coefficients du modèle et des résidus.

Analyse statistique : l'analyse statistique n'appelle pas de commentaires particuliers et permet de retenir comme "meilleur" modèle, le modèle synergique de degré 3. On s'appuie ici sur la qualité descriptive et sur la qualité prédictive de la modélisation, après avoir rappelé succinctement le principe de calcul de ces deux indicateurs.

Analyse graphique : la représentation des courbes iso-réponses est complétée par la représentation de la trace de la surface de réponse, après avoir rappelé les options de ce dernier type de représentation graphique : la trace suivant les axes de Cox et la trace suivant les axes de Piepel.

Conclusion : l'analyse des courbes iso-réponses permet d'identifier un mélange optimal pour lequel, d'après le modèle synergique de degré 3, la valeur du module d'élasticité doit être égale à 3000 en présentant une teneur minimale en liant (binder). Cette approche d'optimisation graphique est complétée par l'utilisation d'un "solveur" à partir d'un tableur informatique bien connu, approche portant le nom d'optimisation non  linéaire (nonlinear programming).

D'autres études de cas mettant en oeuvre des dispositifs de type Simplex Centroid Design apparaîtront au fil des articles de ce blog, montrant l'intérêt de cette démarche dans de nombreux secteurs industriels, lorsque l'on est en présence d'un nombre restreint de constituants d'une part et que le domaine expérimental est un simplexe d'autre part.

Vos commentaires sont toujours les bienvenus et permettront d'enrichir ce blog à partir de nouveaux articles.

Formulation de propergol A (Partie I)

Les données présentées dans cette étude de cas sont issues de la publication proposée par I.S. Kurotori en 1966 (et non en 1972, comme il apparaît sur la vignette au début de chacune des séquences). Cette publication illustre l'application des plans de mélange dans un domaine expérimental résultant de l'application de contraintes individuelles inférieures explicites aux valeurs des proportions des trois constituants : un liant (binder), un combustible (fuel) et un comburant (oxidizer). Ce mélange est destiné à la fabrication de propergol. La stratégie expérimentale retenue dans cette étude renvoie à la mise en oeuvre d'un dispositif de type Simplex Centroid Design.

La première partie de la présentation à laquelle vous pouvez accéder depuis cet article est découpée en 5 séquences décrivant les étapes depuis la définition du problème jusqu'à la construction de la matrice d'expériences.

Introduction : l'introduction permet de découvrir le plan de la présentation et les points clés qui seront plus particulièrement abordés dans les différentes séquences.

Objectif et stratégie : l'auteur cherche à obtenir un module d'élasticité égal à 3000 tout en minimisant la teneur en liant du mélange. Pour ce problème d'optimisation, l'auteur a retenu une méthode indirecte d'optimisation qui consiste à postuler un modèle d'interpolation a priori, l'estimation des paramètres de ce modèle faisant l'objet de la construction puis de l'analyse du plan d'expériences. Après avoir rappelé des méthodes alternatives, comme la méthode d'optimisation séquentielle du simplexe, une dernière planche permet de présenter une définition des plans d'expériences donnée par la norme ISO 3534-3.

Facteurs et domaine : après avoir rappelé l'origine du diagramme ternaire et des représentations triangulaires, on positionnera les contraintes individuelles inférieures explicites. L'espace expérimental réduit est également un simplexe de même orientation que le simplexe initial.

Modèle empirique : adopter la démarche des plans d'expériences consiste à choisir a priori (avant de faire des expériences) une forme particulière de modélisation que l'on exploitera a posteriori (après avoir réalisé l'ensemble des expériences) pour rechercher un optimum. Après avoir introduit en 1958 les formes canoniques de modèles polynomiaux, Henry Scheffé proposa en 1963 un autre type de modèle, appelé modèle synergique de degré q. Une comparaison des deux types d'écriture est positionnée au début de cette séquence. En présence de trois constituants, le modèle synergique de degré 3 s'écrit de la même manière que la forme canonique du modèle de degré 3 réduit, mais il faut veiller aux généralisations parfois hâtives que l'on peut rencontrer ici et là, dans la littérature et dans les logiciels !

Matrice d'expériences : dès lors que l'on connaît le nombre de paramètres du modèle à estimer, il ne reste plus qu'à définir un nombre nécessaire et suffisant de mélanges à réaliser, puis la nature de ces mélanges. La géométrie du domaine expérimental sous forme de simplexe facilite grandement la tâche des expérimentateurs, l'adaptation du maillage d'un simplexe de hauteur unitaire à un simplexe de hauteur réduite fera appel à la notion de pseudo-constituants. On illustre ici la construction d'un maillage de type Simplex Centroid Design, complété par la présence de points axiaux (Axial Design).

Vous découvrirez la semaine prochaine, les différentes étapes consacrées à l'analyse des résultats.

Plans de mélange : Simplex Centroid Design

Il est intéressant de lire les commentaires suscités par la publication du premier article proposé par Henry Scheffé en 1958. A mon sens, il ne faut pas séparer la lecture de cet article de celui très complémentaire et illustratif proposé en 1962 par J.W. Gorman et J.E. Hinman à propos des dispositifs expérimentaux de type Simplex Lattice Design.

Par la suite, D.R. Cox proposera en 1971 une nouvelle paramétrisation des modèles de façon à offrir une interprétation directe des coefficients en tant qu'effets des variations des proportions des constituants. Nous y consacrerons ultérieurement un article spécifique.

Pour répondre aux critiques reprochant également aux mélanges sélectionnés d'être situés aux frontières du domaine, à défaut d'augmenter le degré de maillage et donc le coût expérimental, Henry Scheffé proposa en 1963 un nouvel article suggérant un nouveau dispositif expérimental de type Simplex Centroid Design. Ce sont les deux seules publications à l'initiative de cet auteur à propos des plans d'expériences dédiés aux problèmes de formulation.

Ici encore la méthode n'est applicable qu'à des domaines expérimentaux sous forme de simplexes réguliers (segments de droite, triangles équilatéraux, tétraèdres réguliers, ...). Le maillage obtenu permet un calcul direct des coefficients d'un modèle synergique de degré q qu'il ne faut pas confondre, malgré quelques similitudes, avec des formes canoniques particulières des modèles polynomiaux. L'étude de cas qui fera suite à cette présentation académique permettra de revenir en détail sur ce point particulier.

Très souvent complétés par des points axiaux proposés en particulier par I.S. Kurotori en 1966 et sur lesquels on reviendra dans un futur article, les plans de mélange de type Simplex Centroid Design sont fréquemment rencontrés dans la littérature pour traiter des problèmes d'optimisation mettant en oeuvre cinq constituants tout au plus, ceci en raison d'évidentes contraintes de coût que vous découvrirez.

La première séquence est consacrée au maillage d'un simplexe de hauteur unitaire, en retenant les centres de sous les sous-espaces que l'on peut définir. De tels mélanges sont qualifiés d'aliquotes.

La seconde séquence illustre l'adaptation du maillage précédent à un simplexe de hauteur réduite et de même orientation que le simplexe initial. On fait appel ici à la notion de pseudo-constituants avant de parler des modèles synergiques de degré q sous-jacents à l'analyse des résultats.

Chacune des séquences est ponctuée par un quizz de quelques questions ; en répondant à ces questions, vous capitaliserez ainsi les connaissances apprises lors de ce chapitre.

Editorial Août 2015

Le mois de juillet a été consacré aux plans de mélange de type Simplex Lattice Design, proposés par Henry Scheffé en 1958. Un article contenant des notes de cours traitant du sujet a précédé la présentation d'une étude de cas relative à la formulation d'un détergent à partir de 3 constituants. La forme audio-visuelle de diffusion de l'information est quelque peu originale par rapport à l'existant, mais situe ce blog dans la mouvance des Universités Numériques et des MOOC (Massive Open Online Course).

Le mois d'août sera encore un mois thématique puisqu'il sera exclusivement consacré aux plans de mélange de type Simplex Centroid Design. Cette alternative aux dispositifs présentés précédemment a été également proposée par Henry Scheffé en 1963. 

La méthode de maillage consiste à retenir les centres de tous les sous-espaces que l'on peut définir dans un simplexe : sommets, milieux des arêtes, centres des faces et des hyper-faces, centre du domaine. Dans un simplexe de hauteur unitaire, on parle alors de mélanges aliquotes. On associe à ce type de maillage un modèle d'interpolation appelé modèle synergique de degré q, q étant le nombre de constituants. Il convient de ne pas confondre, malgré leur ressemblance, les modèles synergiques de degré q et les formes canoniques des modèles polynomiaux de degré d typiquement associées aux dispositifs de type Simplex Lattice Design. 

Plusieurs auteurs ont suggéré de compléter ce maillage par des mélanges axiaux situés à mi-distance entre les sommets et le centre du simplexe. En présence d'un domaine expérimental sous forme de simplexe, on rencontre très fréquemment l'utilisation de cette approche.

La semaine prochaine, vous découvrirez des notes de cours portant sur les réseaux de type Simplex Centroid Design, sous forme de deux chapitres filmés et ponctués par des quizz auxquels je vous invite à répondre ... même s'il n'y a rien à gagner !

Vous découvrirez ensuite une étude de cas revisitée. Il s'agit ici de la publication proposée par Kurotori en 1966 à propos de la formulation de propergol. Nous verrons comment mélanger un comburant, un combustible et un liant de façon à atteindre une valeur donnée pour un module d'élasticité tout en minimisant la proportion de liant. La présentation de cette étude de cas sera segmentée en deux parties portant d'une part sur la construction de la matrice d'expériences et l'adaptation de cette matrice au domaine expérimental des auteurs, et d'autre part sur les méthodes d'analyse des résultats, tant d'un point de vue mathématique que d'un point de vue statistique et graphique. Ces deux parties seront diffusées au cours des deux dernières semaines du mois d'août.

Le blog, qui ne bénéficie que d'un référencement naturel, a franchi le cap des 1000 pages vues, mais les réseaux des anciens élèves de l'Ecole Nationale Supérieure de Céramique Industrielle sont très actifs et je les en remercie. Ce mois-ci, le clin d'oeil ira à Damien, qui se reconnaîtra, pour avoir découvert très tôt la nature de la surprise "méditerranéenne", objet du dernier article. Je le remercie également pour ses "coups de pouce", "+1" ou "like", traductions modernes d'un sentiment d'appréciation positive à propos du blog.

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